Надо Знать

добавить знаний



Уравнения



План:


Введение

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения x = f (x)

Уравнения - аналитический запись задачи нахождения аргументов, при которых две заданные функции равны между собой.

f (x) = g (x) \, ,

где f (x) \, и g (x) \, - Некоторые заданные функции, которые называются левой и правой частями уравнения, x - элемент множества, на котором определены функции f и g.

Аргументы функций уравнение называют неизвестными (величинами), значения неизвестных, при которых уравнение становится равенством - корнями уравнения. Уравнение может иметь один, несколько или бесконечно много корней, а может не иметь корня вообще.

Иногда математическая задача накладывает ограничения на множество, которой должны принадлежать решения уравнения, например, Диофант уравнения требуют только цилочисленного решения. Существование и количество корней уравнения тоже могут зависеть от множества: например, уравнение x ^ 2 = -1 не имеет действительных решений, но имеет комплексные решения.

Нормальная форма записи уравнения имеет вид:

F (x) = 0 .

К ней можно перейти, перенеся правую часть уравнения налево. Уравнение в такой форме называется однородным.

Для того, чтобы решить уравнение, надо найти его решения или доказать, что их не существует.

Агрумент фунций, а, следовательно, неизвестными уравнений могут быть не только числа, но и сложные математические объекты. Например, в дифференциальных уравнениях неизвестными являются функции, в операторных - операторы и т.д..


1. Эквивалентность уравнений

Два уравнения называются эквивалентными или равносильными, если каждый корень одного уравнения является корнем второго уравнения и наоборот.

Эквивалентность уравнений имеет свойство рефлексивности : если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности : если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третья важное свойство задается теоремой : уравнение

f_1 (x) \ cdot f_2 (x) = 0 \,

эквивалентно совокупности уравнений:

f_1 (x) = 0, \ qquad f_2 (x) = 0. \,

Это означает, что все корни первого уравнения является корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.


2. Следствие уравнения и посторонние корни

Уравнения

F (x) = G (x) \,

называется следствием уравнения

f (x) = g (x) \, ,

если все корни второго уравнения является корнями первого. Всего первое уравнение может иметь дотаткови корни, по второму уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того, чтобы их обнаружить, потрбино проверить корень подстановкой в ​​исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет - посторонний.


2.1. Пример

Уравнения

\ Sqrt {2x ^ 2 -1} = x, \,

при подъеме обеих частей в квадрат дает уравнение

2x ^ 2 -1 = x ^ 2, \, или x ^ 2 = 1. \,

Оба уравнения являются следствиями исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня

x = 1 и x = -1 .

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество

\ Sqrt {1} = 1. \,

При подстановке другот корня утоврюеться неправильное утверждение:

\ Sqrt {1} = -1. \, .

Итак, второй корень нужно отбросить, как посторонний.


3. Основные свойства уравнения

С алгебраическими выражениями, входящих в уравнение можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности.

  1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
  2. В любой части уравнения можно свести подобные слагаемые.
  3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
  4. Обе части уравнения можно умножать или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций являются эквивалентными начальном уравнению.

Подъем обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.


4. Решение уравнений

Определенные классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, часто бывает даже важнее для практических применений, чем конкретные значения корней.

Уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвертой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнения четвертой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низшего степени.

Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.


5. Применение

Уравнения часто возникают при решении практических или теоретических задач в различных областях науки и техники: физике, химии, экономике и т.д..

5.1. Уравнения и формулы

Поскольку математические уравнения достаточно изученный объект и существуют как аналитические, так и численные методы их решения задачи других областей сначала формулируются в виде уравнений. Для этого прежде всего нужно ввести обозначений неизвестных величин и параметров и использовать формулы соответствующих областей знаний, для того, чтобы записать соотношение между ними.

Отличие от формулой и уравнением в том, что формула является правилом для вычисления какой-то величины и обычно имеет форму:

y = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) \, ,

где у - величина, которую нужно вычислить, а f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) определенная функция от набора параметров. При применении формулы нужно подставить в нее значения параметров и получить значение y. Однако, каждую формулу можно трактовать также как уравнение, если известно значение y, и нужно найти значения параметров, при которых оно реализуется. В этом случае параметры, или часть параметров, становятся неизвестными.


5.2. Особенности уравнений физики

Особенностью уравнений в физике является то, что переменные, обозначающие физические величины, обычно являются размерными. Размерность позволяет проводить дополнительную проверку вычислений, поскольку размерность результата должна быть правильная. Если величины и параметры, заданные в задачи в различных единицах, все единицы перед развязыванием уравнения должны быть сведены к одной системе единиц. Для численного решения физических задач, физическое уравнение нужно сначала обезрозмириты, т.е. ввести новые безразмерные переменные. Такие переменные обычно получают, деля определенную физическую величину на ее характерное значение.

При решении физических задач полученные корни уравнений необходимо проверить на видповидннисть тем предположением, в рамках которых были получены уравнения. Иногда математически строгие решения нужно отбросить, поскольку они не имеют физического смысла.

Некоторые из уравнений физики имеют свои собственные названия, например, уравнения движения описывают эволюцию физической системы, а уравнение состояния в термодинамике задают связь между термодинамическими параметрами.


6. Особенности уравнений в химии

В химии химические уравнения описывают преобразования веществ при химической реакции. Одновременно они могут использоваться для определения баланса веществ при таких реакциях, то есть математическими уравнениями, обычно линейными.

См.. также


Источники

  • Каплан Я.В. Уравнения. - М.: Просвещение, 1968.


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.


Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам