Надо Знать

добавить знаний



Уравнения Шредингера



План:


Введение

Уравнение Шредингера - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, которое определяет закон эволюции квантовой системы со временем.

i \ hbar {d \ over dt} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle. ,

где \ Left | \ psi (t) \ right \ rangle - волновая функция, H - гамильтониан. Впервые это уравнение было записано Эрвин Шредингер в 1926 году.


1. Свойства

Вследствие квантового принципа суперпозиции состояний уравнение, описывающее эволюцию системы, должен быть линейным. Уравнения Шредингера именно такой.

Уравнение Шредингера не лоренц-инвариантное, т.е. справедливо только для частиц, скорость которых намного меньше скорость света. Загальнише уравнения Дирака переходит в уравнение Шредингера при малых скоростях. Поэтому при взаимодействии с магнитным полем (которое является чисто релятивистским явлением) нельзя использовать обычное уравнение Шредингера.

Комплексно сопряженное уравнение

-I \ hbar \ frac {\ partial \ left | \ psi ^ * \ right \ rangle} {\ partial t} = \ hat {H} \ left | \ psi ^ * \ right \ rangle ,

совпадает с уравнением Шредингера, если заменить t на - t, а волновую функцию \ Left | \ psi \ right \ rangle \, на \ Left | \ psi ^ * \ right \ rangle . Это факт отражает возвратность процессов в квантовой механике.


2. Детерминизм

Для определения волновой функции любого нерелятивистской квантовомеханической системы необходимо решить уравнение Шредингера с начальными условиями

\ Left | \ psi (\ mathbf {r}, 0) \ right \ rangle = \ left | \ psi_0 (\ mathbf {r}) \ right \ rangle \, ,

где \ Left | \ psi_0 (\ mathbf {r}) \ right \ rangle \, - Видимо начальное значение волновой функции.

Данное условие аналогичная постановке основной задачи классической механики: знание начальных условий и уравнения движения полностью определяет поведение системы в последующие моменты времени. Этот принцип называется квантовым детерминизмом.

В реальном эксперименте приготовить квантовомеханическую систему в состоянии с известной начальной волновой функцией бывает трудно. В случае, когда это сложно, используется другой подход (см. матрица плотности).


3. Формальный решение

Формальный решение уравнения Шредингера

\ Left | \ psi (\ mathbf {r}, t) \ right \ rangle = \ exp \ left (- \ frac {i} {\ hbar} \ hat {H} t \ right) \ left | \ psi_0 (\ mathbf {r}) \ right \ rangle

Здесь \ Exp \ left (- \ frac {i} {\ hbar} \ hat {H} t \ right) является не числом, а оператором, который называют оператором эволюции.

4. Стационарное уравнение Шредингера

Основная статья Стационарное уравнение Шредингера

Если гамильтониан квантовой системы не зажить от времени, уравнения Шредингера можно решить относительно времени методом разделения переменных и получить так называемое стационарное уравнение Шредингера

\ Hat {H} \ left | \ psi \ right \ rangle = E \ left | \ psi \ right \ rangle ,

где E - некоторое действительное число, которое интерпретируют, как энергию. Это уравнение является ривнням на собственные значения. Решая его находят энергетический спектр квантовой системы, т.е. такие значения E, при которых решение существует. Каждому собственному значению E_n стационарного уравнения Шредингера соответствует собственная фукнция \ Psi_n .

Общее решение временного уравнения Шредингера тогда записывается в виде:

\ Left | \ Psi (t) \ right \ rangle = \ sum_n a_n e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} E_n t} \ left | \ psi_n \ right \ rangle ,

где a_n - Комплексные коэффициенты, которые можно определить из начальных условий.

В случае, когда гамильтониан квантовой системы зависит от времени, например, при взаимодействии системы с электромагнитной волной, переход к стационарного уравнения Шредингера невозможен. В такой квантовой системе энергия не сохраняется, система может поглощать энергию волны или отдавать ее волны.


См.. также

Литература

  • Вакарчук И. А. Квантовая механика. - 4-е издание, дополненное. - Л. : ЛНУ им. Ивана Франко, 2012. - 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантовая механика, термодинамика и статистическая физика / / Теоретическая физика. - К. : Высшая школа, 1993. - Т. 2. - 415 с.
  • Юхновский И. Г. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам