Надо Знать

добавить знаний



Уравнения Эйнштейна



План:


Введение

Уравнения Эйнштейна - основные уравнения общей теории относительности. Неизвестной величиной в уравнениях Эйнштейна является метрический тензор g_ {ik}

(1) \ qquad R_ {ik} - {1 \ over 2} R g_ {ik} + \ Lambda g_ {ik} = 8 \ pi {G \ over c ^ 4} T_ {ik}

где R_ {ik} - тензор Риччи, R - Скалярное искажения, g_ {ik} - метрический тензор, \ Lambda - космологическая константа, T_ {ik} - тензор энергии-импульса, который определяет негравитуючу материю, энергию и силы в произвольной точке пространства-времени, \ Pi - число пи, c - скорость света, G - гравитационная постоянная, которая появляется и в соответствующем законе всемирного тяготения Ньютона. Тензор Риччи, скалярное искажения и тензор энергии-импульса тоже зависят от метрического тензора.

В общем случае уравнение Эйнштейна содержит космологическую константу, хотя позже Эйнштейн видпмовився от ее использования. Космологическая константа была введена для того, чтобы достичь стационарности Вселенной, но открытие красного смещения заложило сомнения в стационарности.

Информация о распределении масс и полей содержится в тензор энергии-импульса. Для полного рассмотрения физической системы уравнения Эйнштейна должны быть дополненными уравнением состояния материи.


1. Вывод уравнения Эйнштейна

Попробуем вывести уравнения гравитации, которое бы согласовывалось с принципами общей теории относительности и в предельном случае малых масс и малых скоростей переходило в классический закон Всемирного тяготения Ньютона. Для вывода достаточно рассмотреть только статическую задачу, когда массы не двигаются и гравитационное поле не меняется со временем. В классическом случае ускорение свободного падения \ Mathbf {g} к тяготеющих центра m дается формулой обратных квадратов:

(2) \ qquad \ mathbf {g} = - {G m \ over r ^ 2} {\ mathbf {r} \ over r}

Эта сила оказывается консервативной, и аналогично электростатики мы можем рассматривать гравитационный потенциал \ Phi :

(3) \ qquad \ phi = - {G m \ over r}

Ускорение свободного падения равен взятому со знаком минус градиенту потенциала:

(4) \ qquad \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi

а из формулы (3), полностью аналогично электростатики, получаем следующее уравнение Лапласа:

(5) \ qquad \ nabla ^ 2 \ phi = 4 \ pi G \ rho

где \ Rho - Плотность массы. Это уравнение классической механики мы возьмем за основу и попробуем найти его релятивистский аналог.

При переходе к общей теории относительности мы должны заменить плотность массы \ Rho релятивистски-инвариантной величиной. Такой величиной, причем примерно пропорциональным плотности \ Rho , Является тензор энергии-импульса T_ {ij} . Поскольку массы неподвижны, то потока энергии нет, и недиагональные элементы Тезора T_ {ij} равны нулю. Также мы можем пренебречь напряжениями внутри физического тела в сравнении с очень большой плотностью энергии покоя W = \ rho c ^ 2 . Таким образом, в нашем случае в тензор энергии-импульса отлична от нуля лишь одна временная компонента:

(6) \ qquad (T_ {ij}) = \ begin {bmatrix} \ rho c ^ 2 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}

Этот тензор стоять (с некоторым коэффициентом пропорциональности) в правой части искомого уравнения - он порождает гравитацию. А что мы должны написать в левой части, т.е. такое гравитация? Ответ дал Эйнштейн, сформулировав принцип эквивалентности - это искривление четырехмерного пространства-времени. Сила притяжения вычисляется по той же формуле, что и силы инерции в неинерциальных системах координат:

(7) \ qquad F ^ i = - m \ Gamma ^ i_ {jk} \ dot x ^ j \ dot x ^ k

Согласно ковариантная координата силы тяжести в трехмерном пространстве (знак минус учитывает псевдоевклидовисть):

(8) \ qquad F_i = m \ Gamma_ {jk, i} \ dot x ^ j \ dot x ^ k

В этой формуле производная координат берется по собственному времени \ Tau материальной точки:

\ Dot x ^ j = {d x ^ j \ over d \ tau}

Мы возьмем для измерения силы тяжести недвижимое пробное тело массой m . Вдоль мировой линии этого тела зминюется только нулевая координата \ Dot x ^ 0 = c , Поэтому:

(9) \ qquad g_i = c ^ 2 \ Gamma_ {00, i} = {c ^ 2 \ over 2} \ left (\ partial_0 g_ {i0} + \ partial_0 g_ {0i} - \ partial_i g_ {00} \ right) = - {\ partial \ over \ partial x ^ i} \ left ({c ^ 2 g_ {00} \ over 2} \ right)

Приравнивая формулы (4) и (9) находим, что нулевая компонента метрического тензора связана с гравитационным потенциалом:

(10) \ qquad \ phi = {c ^ 2 g_ {00} \ over 2} + const

Константу интегрирования мы можем найти, зная что на бесконечности (большом расстоянии от тяготеющих тел) нулевая компонента метрического тензора равна единице, а потенциал превращается в ноль по формуле (3). Итак:

(11) \ qquad g_ {00} = 1 + {2 \ phi \ over c ^ 2}

Теперь мы готовы подобрать релятивистский аналог для левой части формулы (5). Ясно, что этот аналог должен содержать вторые производные метрического тензора g_ {ij} и одновременно быть тензором, чтобы удовлетворить основное требование общей теории относительности - быть инвариантным относительно произвольной замены системы координат. Мы не можем использовать частные производные \ Partial ^ 2 g_ {ij} \ over \ partial x ^ k \ partial x ^ l сами по себе, поскольку они не являются тензором (при замене системы координат преобразуются не по тензорными правилами). Также мы не можем воспользоваться ковариантного производной, поскольку известно, что ковариантная производная метрического тензора \ Nabla_k g_ {ij} тождественно равна нулю. Но нам подходит тензор внутренней кривизны ( тензор Римана):

(12) \ qquad R ^ s_ {\; ijk} = \ partial_j \ Gamma ^ s_ {ki} - \ partial_k \ Gamma ^ s_ {ji} + \ Gamma ^ s_ {jp} \ Gamma ^ p_ {ki} - \ Gamma ^ s_ {kp} \ Gamma ^ p_ {ji}
(13) \ qquad R_ {pijk} = {1 \ over 2} \ left ({\ partial ^ 2 g_ {ij} \ over \ partial x ^ k \ partial x ^ p} + {\ partial ^ 2 g_ {kp } \ over \ partial x ^ i \ partial x ^ j} - {\ partial ^ 2 g_ {ik} \ over \ partial x ^ j \ partial x ^ p} - {\ partial ^ 2 g_ {jp} \ over \ partial x ^ i \ partial x ^ k} \ right) + \ Gamma ^ s_ {ij} \ Gamma_ {kp, s} - \ Gamma ^ s_ {ik} \ Gamma_ {jp, s}

Ясно, что при малом искривлении пространства-времени мы можем выбрать близкую к декартовой системе координат. В ней символы Кристофеля будут близки к нулю, поэтому отбросив (два последних) квадратичные слагаемые в формуле (13) мы в правой части получим сумму вторых производных от метрического тензора. В этой сумме также будут приситни вторые производные от g_ {00} , Т.е. от гравитационного потенциала (формула 11).

Тензор Римана R_ {pijk} имеет четыре индекса, поэтому мы не можем его непосредственно приравнивать к тензора энергии-импульса T_ {ij} с двумя индексами. Уменьшить количество индексов можно, рассматривая линейные комбинации компонент тензора Римана (12). Очевидно, эти линейные комбинации тоже содержат сумму дугих производных гравитационного потенциала \ Phi (Так что остается надежда получить аналог левой части формулы (5)). Мы не будем вводить новых физических величин, а воспользуемся для коэффициентов этих линейных комбинаций самым метрическим тензором - то есть рассмотрим свертки тензора Римана. Однократная свертка тензора R ^ s_ {\; ijk} по индексам (Sj) дает тензор Риччи R_ {ik}:

(14) \ qquad R_ {ik} = R ^ s_ {\; isk}

Этот тензор симметричен и имеет два индекса, как и в тензора энергии-импульса T_ {ij} . Но кроме (14) мы можем создать еще один симметричный тензор, умножив метрический тензор g_ {ij} на скалярную кривизну R , Которая является сверткой тензора Риччи:

(15) \ qquad R = g ^ {ij} R_ {ij}

Итак естественными кандидатами на релятивистское обобщение уравнения (5) есть такие линейные комбинации:

(16) \ qquad \ alpha R_ {ij} + \ beta R g_ {ij} = k T_ {ij}

где коэффициенты (\ Alpha, \ beta, k) являются константами. Эти коэффициенты можно уточнить, воспользовавшись локальным законом сохранения энергии-импульса:

(17) \ qquad \ nabla ^ j T_ {ij} = 0

Итак дивергенция от левой части формулы (16) должна равняться нулю. Если бы тензор Римана был совсем произвольным, то добиться нулевой дивергенции мы не смогли бы ни при каких ненулевых константах (\ Alpha, \ beta) . Но к счастью, как чисто математическая свойство, ковариантный производные тензора Римана связанные дифференциальной тождеством Бианки :

(18) \ qquad \ nabla_i R_ {jkpq} + \ nabla_j R_ {kipq} + \ nabla_k R_ {ijpq} = 0

Свернем эту тождественность сначала по индексам (K, q) , А затем (J, p) :

(19) \ qquad \ nabla_i R_ {jp} - \ nabla_j R_ {ip} + \ nabla ^ k R_ {ijpk} = 0
(20) \ qquad \ nabla_i R - \ nabla_j R_ {ij} - \ nabla ^ k R_ {ik} = 0

С последнего равенства, переименовав индекс, по которому проходит свертка, мы можем выразить дивергенцию тензора Риччи \ Nabla ^ j R_ {ij} через градиент скалярной кривизны \ Nabla_i R :

(21) \ qquad \ nabla ^ j R_ {ij} = {1 \ over 2} \ nabla_i R

Теперь мы готовы, чтобы применить дивергенцию к уравнению (16):

(22) \ qquad \ nabla ^ j \ left (\ alpha R_ {ij} + \ beta R g_ {ij} \ right) = {\ alpha \ over 2} \ nabla_i R + \ beta \ nabla_i R = ({\ alpha \ over 2} + \ beta) \ nabla_i R = 0

Это равенство (закон сохранения энергии-импульса) будет тождественно удовлетворяться, если коэффициент \ Beta равна:

(23) \ qquad \ beta = - {\ alpha \ over 2}

Ясно, что теперь коэффициент \ Alpha не может равняться нулю (иначе с учетом (23) и (16) тензор T_ {ij} был бы тождественным нулем). Разделим равенство (16) на \ Alpha и перепозначимо пока что неизвестную константу k . В результате приходим к такого уравнения гравитации:

(24) \ qquad R_ {ij} - {1 \ over 2} R g_ {ij} = k T_ {ij}

Нам осталось найти константу k . Для этого надо показать, что в приближении слабого поля, левая часть уравнения (24) равно с некоторым коэффициентом лапласиан гравитационного потенциала \ Nabla ^ 2 \ phi и вычислить этот коэффициент. Это не совсем тривиально, поскольку кроме временной компоненты g_ {00} метрического тензора (формула 11), остальные компонент может также меняться. Детали вычисления смотрите в статье Слабое гравитационное поле.


2. Вариационный принцип и лагранжиана гравитационного поля

Выражение в левой части уравнения (24) является тензором Эйнштейна второй степени:

(25) \ qquad G ^ {[2]} _ {ij} = R_ {ij} - {R \ over 2} g_ {ij}

который можно получить вариацией интеграла Гаусса :

(26) \ qquad \ delta \ int K ^ {[2]} d \ tau = {1 \ over 2} \ int G ^ {[2]} _ {ij} \ delta g ^ {ij} d \ tau

при изменении метрического тензора g_ {ij} на малую величину \ Delta g_ {ij} . Кривизна Гаусса второй степерня K ^ {[2]} равна половине скалярной кривизны:

(27) \ qquad K ^ {[2]} = R / 2

Поскольку для материи (в частности для электромагнитного поля) тензор энергии-импульса тоже образуется из лагранжиана подобным образом как коэффициент при вариации метрики, например:

(28) \ qquad \ delta \ int L d \ tau = \ int \ left [{1 \ over 2} T_ {ij} \ delta g ^ {ij} + \ left ({\ partial L \ over \ partial \ phi } - {\ partial \ over \ partial x ^ i} {\ partial L \ over \ partial {\ partial \ phi \ over \ partial x ^ i}} \ right) \ delta \ phi \ right] d \ tau

то отнимая от (28) предварительно умноженное уравнения (26) (с надлежащим множителем, обратным к коэффициенту в правой части уравнения (1)) получим совокупный лагранжиана материи и гравитационного поля:

(29) \ qquad L_ {\ mbox {total}} = L - {c ^ 4 \ over 16 \ pi G} R

при вариации которого получается все: как уравнение Эйнштейна для гравитации, так и уравнения движения материи:

(30) \ qquad \ delta \ int L_ {\ mbox {total}} d \ tau = \ int \ left [{1 \ over 2} \ left (T_ {ij} - {c ^ 4 \ over 8 \ pi G } G_ {ij} \ right) \ delta g ^ {ij} + \ left ({\ partial L \ over \ partial \ phi} - {\ partial \ over \ partial x ^ i} {\ partial L \ over \ partial {\ partial \ phi \ over \ partial x ^ i}} \ right) \ delta \ phi \ right] d \ tau

Второе слагаемое в правой части (29) является лагранжиана гравитационного поля:

(31) \ qquad L_ {g} = - {c ^ 4 \ over 16 \ pi G} R = {c ^ 4 \ over 8 \ pi G} \ left (- K ^ {[2]} \ right)

3. Философия относительно единства законов физики

Вариационный принцип встречается не только здесь, но во всех основных разделах физики: классической механике, квантовой механике, электродинамике, теории относительности. Такая распространенность наводит на мысль, что все законы физики связаны каким-то (еще неизвестным науке) одним универсальным уравнением. Это уравнение может образовываться вариацией "всеобщей действия" от некоторого общего лагранжиана. Сам Альберт Эйнштейн занимался поисками этого уравнения, хотя без значительных успехов. Одним из результатов Эйнштейна является поправка с космологической постоянной.


4. Поправки к уравнению Эйнштейна

Рассмотрим вместо выражения (31) любую функцию от тензора Римана и его ковариантного производных, которая образует скаляр за тензорными правилами. Например:

(32) \ qquad L_g = {c ^ 4 \ over 8 \ pi G} \ left (- {R \ over 2} + \ Lambda + a_1 \ sqrt {R} + a_2 R ^ 2 + a_3 (R ^ i_j R ^ j_i) + \ dots \ right)

Тогда при вариации этого обобщенного лагранжиана мы получим Обобщенный тензор Эйнштейна. Он подражает основные свойства тензора Эйнштейна (формула 25) второй степени: симметричный, релятивистски инвариантный, нулевая дивергенция. Единственное условие на поправки в формуле (32): они должны быть маленькими в масштабах ближнего космоса (т.е. Солнечной системы), чтобы выполнялся закон тяготения Ньютона. Но в других масштабах они могут проявиться. В частности члены с \ Lambda, \; a_1 при больших масштабах - вселенских и галактических. Квадратичные члены с a_2, \; a_3 могут проявиться в малых, в частности микроскопических масштабах. Подробнее это описано в статье Поправки к уравнению Эйнштейна.


5. Решения

Уравнения Эйнштейна нелинейные и решения можно найти в очень ограниченном количестве случаев. Известный решение - метрика Шварцшильда для сферического распределения массы.


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Теоретическая физика, т.2. - Москва: Госиздат, 1967., 460 с.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам