Ускорение

Классическая механика
\ Bold {F} = \ frac {d \ bold {p}} {dt}
Второй закон Ньютона
История классической механики
Разделы
Статика ? Кинематика ? Динамика ? Небесная механика ? Механика сплошных сред ? Статистическая механика
Фундаментальные понятия
Пространство ? Время ? Система отсчета ? Масса ? Инерция ? Скорость ? Ускорение ? Импульс ? Сила ? Гравитация ? Момент импульса ? Момент силы ? Момент инерции ? Энергия ? Кинетическая энергия ? Потенциальная энергия ? Механическая работа ? Мощность
Основные принципы
Принцип относительности ? Законы сохранения ? Принцип д'Аламбера - Лагранжа ? Принцип наименьшего действия ? Теорема Нетер
Уравнения
Уравнения Лагранжа I рода ? Уравнения Лагранжа - Эйлера ? Кинематические уравнения Эйлера ? Уравнения Гамильтона
Важные темы
Малые колебания ? Задача двух тел ? Абсолютно твердое тело
Формулировка
Механика Ньютона ? Механика Лагранжа ? Механика Гамильтона ? Формализм Гамильтона - Якоби
Известные ученые
Архимед ? Галилей ? Ньютон ? Кеплер ? Эйлер ? д'Аламбер ? Лагранж ? Лаплас ? Гамильтон ? Коши ? Герц ? Якоби
пересмотреть ? обсудить ? редактировать
Ускорение - это изменение скорости. В любой точке траектории ускорения задается не только изменением абсолютного значения скорости, но и ее направлении. Ускорение определяется как предел отношении прироста скорости к интервалу времени, за которое этот прирост произошел.

Ускорение - векторная физическая величина, производная скорости за время, по величине равна изменению скорости тела за единицу времени.

\ Mathbf {a} = \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} \;

Поскольку скорость - производная от координаты, то ускорение можно записать, как вторую производную от координаты:

\ Mathbf {a} = \ frac {d ^ 2 \ mathbf {r}} {dt ^ 2} \;

Движение тела, при котором его ускорение не меняется (ни по величине, ни по направлению), называется равноускоренным движением. В физике термин ускорения используется и в тех случаях, когда скорость тела по модулю не увеличивается, а уменьшается, т.е. тело замедляется. При замедлении вектор ускорения направлен против движения, т.е. противоположный вектору скорости.

Ускорение - одно из базовых понятий классической механики. Оно объединяет между собой кинематику и динамику. Зная ускорение, а также начальные положения и скорости тел, можно предсказать, как тела будут двигаться дальше. С другой стороны, значение ускорения определяется законами динамики через силы, действующие на тела.


1. Обозначения и единицы

Ускорение обозначается обычно латинской буквой a (от англ. acceleration ), И его абсолютная величина измеряется в СИ в метрах за квадратную секунду (м / с 2). Существует также внесистемная единица Гал (Gal), используемый в гравиметрии и равна 1 см / с 2. Часто ускорения также измеряют, выбирая за единицу ускорение свободного падения, которое обозначают латинской буквой g, то есть говорят, что ускорение составляет, например, 2g.

Часто в физике для обозначения ускорения используют две точки над обозначением координат или одну точку над символом скорости:

\ Mathbf {a} = \ ddot {\ mathbf {r}} = \ dot {\ mathbf {v}}

2. Тангенциальное и нормальное ускорения

Ускорение - векторная величина. Его направление не всегда совпадает с направлением скорости. В общем случае вектор ускорения образует с вектором скорости некоторый угол и раскладывается на две составляющие. Составляющая вектора ускорения, которая направлена ​​параллельно вектору скорости, а, следовательно, вдоль касательной к траектории, называется тангенциальным ускорением. Составляющая вектора ускорения, направленная перпендикулярно вектору скорости, а, следовательно, вдоль нормали к траектории, называется нормальным ускорением.

\ Mathbf {a} = \ frac {dv} {dt} \ left (\ frac {\ mathbf {v}} {v} \ right) + v \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ mathbf {v}} {v} \ right) .

Первый член в этой формуле задает тангенциальное ускорение, второй - нормальное, или центростремительное. Изменение направления единичного вектора всегда перпендикулярна этого вектора, поэтому второй член в этой формуле нормальный к первому.

В случае вращения тела по окружности со скоростью, не меняется по модулю, вектор ускорения перпендикулярно вектору скорости.


3. Ускорение в динамике

По второму закону Ньютона ускорение возникает вследствие воздействия на тело силы :

m \ mathbf {a} = \ mathbf {F} ,

где m - масса тела, \ Mathbf {F} - равнодействующая всех сил, действующих на это тело.

Таким образом, при одинаковой силе, действующей на различные тела, ускорение тела с меньшей массой будет больше, и, соответственно, ускорения массивного тела - меньше.

Если на тело, движущееся не действуют никакие силы, или действие всех сил на него уравновешена, то такое тело движется без ускорения, т.е. с постоянной скоростью.


4. Определение скорости и радиус-вектора при известном ускорении

Если известна зависимость ускорения материальной точки от времени \ Mathbf {a} (t) , То ее скорость определяется интегрированием:

\ Mathbf {v} (t) = \ mathbf {v} _0 + \ int_ {t_0} ^ t \ mathbf {a} (t ^ \ prime) dt ^ \ prime ,

где \ Mathbf {v} _0 - Скорость точки в начальный момент времени t_0 .

Зависимость ускорения от времени можно определить из законов динамики, если известны силы, действующие на материальную точку. Для однозначного определения скорости нужно знать ее значение в начальный момент.

Для равноускоренного движения интегрирования дает:

\ Mathbf {v} = \ mathbf {v} _0 + \ mathbf {a} (t - t_0) .

Соответственно, повторным интегрированием можно найти зависимость радиус-вектора материальной точки от времени, если известно его значение в начальный момент \ Mathbf {r} _0 :

\ Mathbf {r} (t) = \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _0 t + \ int_ {t_0} ^ t \ int_ {t_0} ^ {t ^ {\ prime}} \ mathbf {a} (t ^ {\ prime \ prime}) dt ^ {\ prime \ prime} dt ^ \ prime .

Для равноускоренного движения :

\ Mathbf {r} (t) = \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _0 t + \ mathbf {a} \ frac {t ^ 2} {2} .

Формула а = F / m, где F - сила, действующая на тело, m - масса тела.


4.1. Для релятивистского случая (СТВ)

Используя локально инерциальные системы отсчета, можно получить формальное определение ускорения через скорость в рамках релятивистской кинематики. Пусть в момент времени \ T скорость объекта по оси \ Ox имела значение \ V (t) (По другим осям - нулевая), а в момент времени \ T + dt - \ V (t + dt) . Это формально соответствует ускорению этого объекта и означает, что в рамках нерелятивистской кинематики прирост скорости за этот момент времени в собственной ИСО можно выразить как \ Dv = adt = adt . Можно представить, что есть две ИСО, имеющих относительную скорость \ Adt , И записать для объекта обратное преобразование Лоренца:

\ V (t + dt) = \ frac {v (t) + adt '} {1 + \ frac {v (t) adt'} {c ^ {2}}} \ approx (v (t) + adt .

Это уравнение можно решить относительно \ V (t) . Действительно, после интегрирования,

\ At + \ frac {v_ {0}} {\ sqrt {1 - \ frac {v_ {0} ^ {2}} {c ^ {2}}}} = at + const_ {1} = \ frac {v } {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ Rightarrow (at + const_ {1}) ^ {2} = \ frac {v ^ {2}} { 1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ Rightarrow v = \ frac {const_ {1} + at} {\ sqrt {1 + \ frac {(const_ {1} + at) ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad (.2) .

Полученное уравнение, опять же, можно решить, приняв во внимание, что \ V = \ frac {dx} {dt} , Можно получить:

\ \ Int vdt = x = \ int \ frac {(const_ {1} + at) dt} {\ sqrt {1 + \ frac {(const_ {1} + at) ^ {2}} {c ^ {2} }}} = \ left | const_ {1} + at = k, dk = \ frac {dt} {a} \ right | = \ frac {1} {a} \ int \ frac {kdk} {\ sqrt {1 + \ frac {k ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {c ^ {2}} {2a} \ int \ frac {d (\ frac {k ^ {2}} {c ^ {2}})} {\ sqrt {1 + \ frac {k ^ {2}} {c ^ {2}}}} =

\ = X_ {0} + \ frac {c ^ {2}} {a} \ left (\ sqrt {1 + \ frac {(at + const_ {1}) ^ {2}} {c ^ {2}} } - \ sqrt {1 + \ frac {const_ {1} ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ qquad (.3) .

Каждое из уравнений в предельном случае переходит в уравнение нерелятивистской кинематики. Действительно, из \ (.1) при \ C-> \ infty сразу получается выражение

\ A = \ frac {dv} {dt} ,

с \ (.2) -

\ V \ approx (const_ {1} + at) \ left (1 - \ frac {(const_ {1} + at) ^ {2}} {c ^ {2}} \ right) \ approx const_ {1} + at \ approx | const_ {1} \ approx v_ {0} | = v_ {0} + at ,

а с \ (.3) -

\ X \ approx x_ {0} + \ frac {c ^ {2}} {a} \ left (1 + \ frac {(const_ {1} + at) ^ {2}} {c ^ {2}} - 1 - \ frac {const_ {1} ^ {2}} {c ^ {2}} \ right) = x_ {0} + \ frac {c ^ {2}} {a} \ frac {1} {2c ^ {2}} 2const_ {1} at + \ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}} \ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {2c ^ {2}} = x_ { 0} + const_ {1} t + \ frac {at ^ {2}} {2} \ approx x_ {0} + v_ {0} t + \ frac {at ^ {2}} {2} .


5. Ускорение тела, движущегося по кругу

Если тело движется по кругу с постоянной угловой скоростью \ Omega , То его ускорение направлено к центру круга и равен по абсолютной величине

a = \ omega ^ 2 R = \ frac {v ^ 2} {R} ,

где R - радиус круга, v = \ omega R - Скорость тела.

В векторном записи:

\ Mathbf {a} = - \ omega ^ 2 \ mathbf {r} ,

где \ Mathbf {r} - радиус-вектор. | \ Mathbf {r} | = R .

Знак минус указывает на то, что ускорение направлено к центру круга. Такое ускорение называют центростремительным. Это редкий случай нормального ускорения. Тангенциальная составляющая ускорения при равномерном вращении равна нулю.


6. 4-вектор ускорения

В теории относительности движение с переменной скоростью тоже характеризуется определенной величиной, аналогичной ускорению, но в отличие от обычного ускорения 4-вектор ускорения является второй производной от 4-вектора координат не по времени, а пространственно-временном интервала.

a ^ i = \ frac {d ^ 2 x ^ i} {ds ^ 2} = \ frac {d u ^ i} {ds} .

4-вектор ускорения всегда "перпендикулярный" 4-скорости

u_i a ^ i = 0 \, .

Особенностью движения в теории относительности является то, что скорость тела никогда не может превысить значение скорости света. Даже в случае, если на тело действовать стала сила, его ускорение уменьшается с ростом скорости и стремится к нулю при приближении к скорости света.

В классической механике значение ускорения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то есть ускорение инваривантне по преобразований Галилея. 4-ускорение в теории относительности является 4-вектором, т.е. при преобразованиях Лоренца меняется аналогично пространственно-временным координатам.

В системе отсчета, движущейся с ускорением, на тело действует сила инерции. Общая теория относительности постулирует через принцип эквивалентности, что силу инерции невозможно отличить от гравитационного поля, что связано с равенством инерционной и гравитационной массы.


7. Измерения

Приборы для измерения ускорения называются акселерометрами. Они не измеряют ускорение непосредственно, а силу реакции опоры, которая возникает при ускоренном движении. Поскольку аналогичные силы сопротивления возникают также и в поле тяготения, то с помощью акселерометров можно измерять также и гравитацию.

Акселерографы - приборы, измеряющие и автоматически записывают (в виде графиков) значения ускорения поступательного и вращательного движения.


8. Интересные факты

Максимальное ускорение твердого тела, которое удалось получить в лабораторных условиях, составляло 10 октября g [1] [2]. Для опыта ученые применили так называемую Z-машину (Z Machine), которая создает чрезвычайно мощный импульс магнитного поля, который ускоряет в специальном канале снаряд - алюминиевую пластинку размером 30 ? 15 мм и толщиной 0,85 мм. Скорость снаряда составляла примерно 34 км / с (в 50 раз быстрее шар).


См.. также


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Источники

  • Федорченко А.М. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1975., 516 с.
  • Гончаренко С.У. Физика: Основные законы и формулы .. - Киев: Лыбидь, 1996.
  • Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике. Том 1. Современная наука о природе. Законы механики.. - Москва: Мир, 1976.
  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Теоретическая физика, т.1. - Москва: Госиздат, 1958., 206 с.