Фазовое пространство

Двумерный фазовое пространство динамической системы (фазовая траектория этой системы имеет вид расходящейся спирали)

Ф?зовий пр?стир - многомерный пространство переменных динамической системы.


1. Классическая механика

В гамильтоновых механике координатами фазового пространства являются обычные пространственные координаты (или обобщенные координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщенные импульсы).

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых - это три обычных координаты, а еще три - это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек иметь 12 измерений и т.д.

Многомерное пространство, состоящая только из значений координат материальных точек принято называть координатным пространством или конфигурационным пространством. Другую составную часть фазового пространства, которая является совокупностью значений импульсов материальных точек, называют импульсным пространством.

Суть понятия фазового пространства заключается в том, что текущее состояние сколь угодно сложной системы, изображается в нем одной единственной фазовой точкой, а эволюция системы - смещениями этой точки, называют фазовыми траекториями. Кроме того, самое главное, движение этой точки определяется простыми уравнениями Гамильтона, позволяющий судить о поведении сложных механических систем.

Смотрите также Теорема Лиувилля


2. Диссипативные системы

Диссипативные системы описываются кинетическими уравнениями, в которых переменными могут быть любые физические величины, например, концентрации частиц определенного рода, температура и т.д.. Многомерное пространство, образованный этими переменными тоже называют фазовым пространством. Эволюция системы описывается кривой в этом пространстве, которую называют фазовой траектории. Совокупность различных возможных фазовых траекторий называют фазовым портретом.


3. Квантовая механика

В квантовой механике координаты p и q фазового пространства становятся эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве, однако могут в альтернативе сохранять классическую интерпретацию. Например, собственные значения разных операторов могут быть представлены в виде функций в новом алгебраическом виде. Фазовое пространство дает возможность развития единого формализма для классической и квантовой механики [1].

Оператор эволюции формулируется в терминах скобок Пуассона; в квантовом случае эти скобки является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех аксиомах, они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.


Источники

  • А. М. Федорченко Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1975., 516 с.