Ферми-газ

Ферми-газ (или идеальный газ Ферми-Дирака) - газ, состоящий из фермионов, частиц, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать потенциал, который действует на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми-Дирака.


1. Газ Ферми-Дирака при нулевой температуре

Низкая энергия классического газа (или газа Бозе-Эйнштейна) при T = 0 равна W_0 = 0 . То есть, при нулевой температуре все частицы "падают" в низкий состояние и теряют кинетическую энергию. Однако для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только двум фермионов с разными спинами. Низкие энергию газа W_0 с N частиц можно получить, путем размещения по две частицы в каждый из N квантовых состояний с низкой возможной энергией. Поэтому энергия W_0 такого газа при T = 0 будет отличной от нуля.

Величину W_0 не трудно вычислить. Обозначив через \ Mu_0 энергию электрона в самом квантовом состоянии, который еще заполнено при T = 0 . При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже \ Mu_0 будет занято, а все квантовые состояния с энергией выше \ Mu_0 будут свободными. Поэтому должно существовать точно N состояний с энергией ниже или равной \ Mu_0 . Это условие достаточно для нахождения \ Mu_0 . Поскольку объем является микроскопическим, так трансляционные состояния лежат близко друг к другу в импульсном пространстве, и мы можем заменить суммирование по трансляционной квантовым состояниям \ Mathbf {k} интегрированием по классическому фазовом пространстве, разделив предварительно на h ^ 3 :

\ Frac {g} {h ^ 3} \ iint_ {} ^ {} 4 \ pi p ^ 2 \, dr \, dp = V \ frac {g} {h ^ 3} \ int_ {} ^ {} 4 \ pi p ^ 2 \, dp

где g - \ число внутренних квантовых состояний, соответствующих внутренней энергии. Число g = 2 \ , Для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от p = 0 до значения p_0 , Определенного как величина импульса высокого заполненного при T = 0 состояния с энергией \ Mu_0 = (2m) ^ {-1} p_0 ^ 2 , И приравнивая результат к N , Получаем с учетом того, что \ Rho = N / V :

N = V \ frac {g} {h ^ 3} \ frac {4 \ pi} {3} p_0 ^ 3 = V \ frac {g} {h ^ 3} \ frac {4 \ pi} {3} (2m \ mu_0) ^ {2/3}
p_0 = (\ frac {3} {4 \ pi g \ rho}) ^ {1/3} h
\ Mu_0 = \ frac {p_0 ^ 2} {2m} = \ frac {h ^ 2} {2m} (\ frac {3} {4 \ pi g \ rho}) ^ {2/3}

или для электронов с g = 2 \ :

\ Mu_0 = \ frac {h ^ 2} {8m} (\ frac {3 \ rho} {\ pi}) ^ {2/3}, g = 2

Величину \ Mu_0 , Высшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.


2. Газ Ферми-Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра \ Beta = 1/kT плотность числа электронов N (\ epsilon) в энергетическом пространстве находим путем умножения квантовой плотности состояний

\ Frac {3} {2} N / \ mu_0 ^ {-3 / 2} \ int_ {} ^ {} \ epsilon ^ {1/2} \, d \ epsilon

на множитель \ Frac {1} {1 + \ exp [\ beta (\ epsilon - \ mu)]} , Который дает число электронов на один квантовое состояние:

N (\ epsilon) = \ frac {3} {2} N / \ mu_0 ^ {-3 / 2} \ frac {1} {1 + \ exp [\ beta (\ epsilon - \ mu)]}

где величина \ Mu_0 есть химический потенциал при T = 0 , А \ Mu - Химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям \ Epsilon , То мы можем определить \ Mu как функцию от температуры. Приравнивая результат, входящий в \ Int_ {0} ^ {\ infty} N (\ epsilon) \, d \ epsilon полного числа частиц N . Отсюда видно, что для N (\ epsilon) величина mu есть функция параметров mu_0 и \ Beta .

Энергию можно найти из соотношения:

W = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ epsilon N (\ epsilon) \, d \ epsilon ,

откуда видно, что здесь мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

I = \ int_ {0} ^ {\ infty} f (\ epsilon) g (\ epsilon) \, d \ epsilon ,

в котором функция f (\ epsilon) есть некоторая простая и непрерывная функция от \ Epsilon , Например \ Epsilon ^ {1/2} или \ Epsilon ^ {3/2} , И

g (\ epsilon) = \ frac {1} {1 + \ exp [\ beta (\ epsilon - \ mu)]} .

Следует отметить, что для большинства металлов величина \ Mu_0 / k имеет порядок от 5 \ cdot 10 ^ 4 к 10 ^ 5 К.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате будем иметь приближенное значение химического потенциала:

\ Mu = \ mu_0 [1 - \ frac {\ pi ^ 2} {12} (\ beta \ mu_0) ^ {-2} - \ frac {\ pi ^ 4} {80} (\ beta \ mu_0) ^ { -4} + ...] ,

выражающее химический потенциал \ Mu через параметры \ Beta и \ Mu_0 - Химический потенциал при T = 0 . Здесь следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температуры первого добавка составляет (\ Beta \ mu_0) ^ {-2} \ approx 10 ^ {-4} , Что является достаточно малая величина. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом Ферми.


3. Смотри также

Литература

  • Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.: Мир, 1980.-544с.