Формула Герона

Треугольник со сторонами a, b и c.

Формула Герона определяет площадь треугольника S по длине его сторон a, b, и с.

S = \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}

где p = (a + b + c) / 2 \, - Половина периметру треугольника.


Доведение

S = {1 \ over2} ab \ cdot \ sin {\ gamma} ,

где \ \ Gamma - Угол треугольника, лежащего против стороны c . Согласно теоремой косинусов :

c 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cdot \ cos \ gamma,

Отсюда:

\ Cos \ gamma = {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 \ over 2ab}

Поэтому,

\ \ Sin ^ 2 \ gamma = 1 - \ cos ^ 2 \ gamma = (1 - \ cos \ gamma) (1 + \ cos \ gamma) =
= {{2ab-a ^ 2-b ^ 2 + c ^ 2} \ over 2ab} \ cdot {{2ab + a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} \ over 2ab} =
= {{C ^ 2 - (ab) ^ 2} \ over 2ab} \ cdot {{(a + b) ^ 2-c ^ 2} \ over 2ab} = {1 \ over 4a ^ 2b ^ 2} (c -a + b) (c + ab) (a + bc) (a + b + c) .

Поскольку справедливы равенства a + b + c = 2p , a + b-c = 2p-2c , a + c-b = 2p-2b , c-a + b = 2p-2a , Получается:

\ Sin \ gamma = {2 \ over ab} \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}.

Таким образом,

S = {1 \ over 2} ab \ sin \ gamma = \ sqrt {p (pa) (pb) (pc)},