Надо Знать

добавить знаний



Функциональный анализ



План:


Введение

Функциональный анализ - математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространства. С другой стороны, характер вопросов, которые при этом рассматриваются, позволяет считать эту науку частью математического анализа. Предметом исследований в функциональном анализе является функционалы и операторы.

Функциональный анализ как самостоятельная дисциплина развивался на рубеже 19 и 20 века и окончательно сформировался в 20-30 гг 20 века. С одной стороны, он развился под влиянием исследования конкретных классов линейных операторов - интегральных операторов и связанных с ними интегральных уравнений, с другой - под влиянием чисто внутреннего развития современной математики с ее желанием обобщить и тем самым познать истинную природу тех или иных закономерностей . Огромное влияние на развитие функционального анализа было квантовая механика, поскольку в ней измеряемым физическим величинам соответствуют линейные операторы над пространством состояний физической системы.


Понятие пространства

Самыми общими пространствами, фигурирующие в функциональном анализе является топологические векторные пространства. Так называется векторный (линейный) пространство над полем комплексных чисел (или действительных). На пространстве может быть введена метрика - действительная функция от двух аргументов, принадлежащих этому пространству, результатом которой является "расстояние" между этими элементами. Слово расстояние использовано здесь в переносном смысле. Пространство с метрикой называется метрическим пространством. Также отличают пространства, на которых аксиоматически определена норма элемента - "длина" вектора x, | | x | |. На нормированном пространстве всегда можно ввести метрику в виде f (x, y) = | | xy | |. Также в пространстве можно определить операцию скалярного произведения которой геометрически можно интерпретировать как угол между элементами. Пространства со скалярным произведением называются унитарными. Скалярное произведение порождает норму в пространстве таким образом: | | x | | 2 = (x, x). Пространство который является полным относительно нормы порожденной скалярным произведением этого пространства называется гильбертовом пространстве.

"Измеримость" пространства - максимальное количество линейно независимых элементов в этом пространстве. Безмежновимирний пространство это пространство, в котором для любого натурального числа n существует n линейно независимых элементов.


Функционал

Функционал - это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу данного пространства элемент из пространства действительных или комплексных чисел. Важную роль в функциональном анализе играют понятия непрерывных функционалов и линейных функционалов. Пространство всех линейных ограниченных и везде определенных на пространстве Х функционалов называется сопряженным к X и обозначается Х "или Х *.


Оператор

Оператор - отображение, которое ставит в соответствие элемент одного пространства элемента с другой. L (X, Y) - пространство всех линейных, непрерывных, везде определенных в Х операторов. Преимущественно рассматриваются случаи, когда X i Y - нормированные или Гильбертовы пространства. Оператор называется сопряженным к оператору А и обозначается А * если (А х, y) = (x, A * y). Очень важным является класс самоспряжених операторов - (A x, y) = (x, A y).

См.. также

Основные разделы Математики
Алгебра Дискретная математика Дифференциальные уравнения Геометрия Комбинаторика Линейная алгебра Математическая логика Математическая статистика Математический анализ Теория вероятностей Теория множеств Теория чисел Тригонометрия Математическая физика Топология Функциональный анализ

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам