Надо Знать

добавить знаний



Функция (математика)



План:


Введение

Функция f отображает область определения X в целевую множество Y; меньше овал внутри Y - это область значений функции f

Функция (отображение, трансформация, оператор) в математике - это правило, которое каждому элементу из первой множества ( области определения) ставит в соответствие один и только один элемент со второй множества. Часто эту вторую множество называют целевой множеством или образом функции или отображения.

Отображение f, которое сопоставляет каждому элементу множества A единственный элемент множества B обозначается как f: AB (т.е. f отображает A в B).


1. Интуитивное определение

Интуитивно, функция - это определенное "правило", или "преобразования", которое сопоставляет уникальное исходное значение каждому входному значению. Например, в каждой личности есть любимый цвет (желто-голубой, оранжевый, бело-синий и т.д.). Любимый цвет является "функцией лица", то есть, например, у Виктора любимым является оранжевый, у Людмилы - бело-синий. То есть, входящими значениями здесь являются лица, выходные - любимые цвета. Или, например, время, необходимое камней, брошенному с определенной высоты, чтобы достичь земли, зависит от этой высоты, здесь выступает как входное значение, а время, камень находится в полете - в качестве исходного значения.

"Правило", которое определяет функцию, может быть задано формулой, определенным соотношением или просто таблицей, в которой перечислены все возможные комбинации входных и выходных значений. Важнейшим признаком обычной функции является то, что она всегда производит одинаковый результат на поданное входное значение. Входное значение часто называют аргументом функции, исходное - значением функции

Обычно в функциях аргументами и значениями выступают числа, и функциональная зависимость задается формулой. Значение функции получается непосредственной подстановкой аргумента в формулу. Примером такой функции может быть квадратичная зависимость: f (x) = x 2, сопоставляет каждому аргументу его квадрат.

В общем случае, функция может быть зависимой от нескольких аргументов.

Впрочем, в современной математике и естественных науках рассматриваются функции, которые не могут быть явно заданы формулами, поэтому современная интерпретация понятия "функция" определяет ее как некое отражение, соответствие между некоторыми множествами A (множеством или областью определения) и B (которую иногда называют областью значений, хотя это и не совсем правильно), следовательно такое отображение, которое сопоставляет каждому элементу из множества A единственный элемент из множества B. В теории множеств такие функции удобно определять с помощью соответствий между множествами. В такой обобщенной интерпретации функция становится фундаментальным понятием практически в каждой области математических знаний.


2. Отсутствие формального определения

Не существует формального определения функции. Понятие функция относится к базовым понятиям математики, и его можно лишь попытаться назвать другим синонимом, например отображения, соответствие, закон или подмножество декартова произведения.

Функцией (отображением, трансформацией) f множества X в множество Y (обозначается f: X → Y) называется такая соответствие между множествами X и Y, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Соответствие f всюду определена, то есть, для любого x из X существует такой y из Y, что x f y (y является образом x для функции f), т.е. для любого x из X существует хотя бы один образ y из Y.
  2. Соответствие f является соответствием много-к-одному, или функциональной, т.е. если x f y и x f z, то y = z, т.е. y может быть образом сразу нескольких элементов из X, но один элемент x не может порождать более одного образа с Y.

Элемент y из Y, который соответствует элементу x из X обозначается как f (x).

Также можно сказать, что отражением (функции) из X в Y такая соответствие fA ? B, в которой каждому элементу a ∈ Pr 1 f соответствует только один элемент из Pr 2 f (здесь ? - Декартово произведение множеств, Pr 1 f и Pr 2 f - соответствующие проекции отображения).

Множество всех функций f: X → Y обозначается как Y X. При этом мощность множества | Y X | = | Y | | X |.

Соответствие между X и Y, которая удовлетворяет только условию (1) называется многозначной функцией. Любая функция является многозначной функцией, но не каждая многозначная функция является функцией. Соответствие, удовлетворяет только условию (2) является частичная функция. Любая функция частичной, но не каждая частичная функция является функцией. В этой энциклопедии функцией является такое соответствие между множествами, которая удовлетворяет одновременно условиям (1) и (2), если иное не указывается дополнительно.

Функции многих переменных, где y = f (x 1,..., x n), т.е. где y одновременно зависит от n переменных, можно определить как отображение вида f: X nY, где X n - n-степень множества X (см. . Декартово произведение множеств).

Примеры:

NotMap1.png

Элемент 3 из X отвечает одновременно двум элементам b и c с Y, т.е. f (3) = b, f (3) = c и bc. Такое соответствие является многозначной функцией, но не функцией.

NotMap2.png Элемент 1 из X не соответствует ни одному элементу из Y. Такое соответствие является частичной функцией, но не функцией.
Mathmap2.png Такое соответствие есть везде определенной и функциональной, т.е. функцией из X в Y. Непосредственно эту функцию можно задать множеством : f = {(1, d), (2, d), (3, c)} или условным перечнем:
f (x) = \ left \ {\ begin {matrix} d, & \ mbox {if} x = 1 \ \ d, & \ mbox {if} x = 2 \ \ c, & \ mbox {if} x = 3. \ End {matrix} \ right.

3. Области значений и определения

X, множество входных значений, также называется областью определения f, а Y, множество всех возможных результатов, иногда называется областью значений, но более корректно называть областью значений множество всех тех элементов Y, для которых существуют соответствующие элементы из X. Поэтому в общем случае область значений является лишь подмножеством Y.

Тождественной функцией (тождественным отображением) называют функцию, область значений и определение которой совпадают.


4. Иньективни, сюрьективни и биективни функции

Существуют специальные названия для некоторых важных видов функций:

  • Иньективна функция - функция, в которой различным значениям аргумента соответствуют разные результаты, то есть, для двух элементов x, y из Y выполняется: f (x) = f (y) тогда и только тогда, когда x = y.
  • Сюрьективна функция - функция f: XY, область значений которой совпадает с множеством Y, т.е. для каждого y из Y существует x из X такой, что f (x) = y.
  • Биективна функция - функция, которая является одновременно сюрьективною и иньективною, т.е. устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y.

5. Образ и прообраз

Образом элемента xX для отображения (функции) f есть результат отражения (функции) f (x).

Образ подмножества AX для f такая подмножество Y, которая соответствует условию:

f (A) = {f (x) | xA}

Следует отметить, что область значений f совпадает с образом области определения f (X).

Прообраз отображения (или обратный образ) множества BY для f является подмножеством множества X, определенной как

f -1 (B) = {xX | f (x)B}

6. График функции

График функции f есть множество всех упорядоченных пар (x, f (x)), для всех x из области определения X.

График кубической функции. Эта функция сюрьективною, но не иньективною

7. Композиция функций

Из функций f: XY и g: YZ можно построить композицию функций следующим образом: сначала применив f до аргумента x из X, а затем применив g до результата. Такая композиция функций сказывается gof: X → Z, т.е. (gof) (x) = g (f (x)) для всех x из X.

8. Тождественна функция, вложения, продолжения и сужения

Отображение (функция) E: XX, такое, что E (x) = x для любого x из X, называется тождественного отображения, о котором говорят, что оно отражает X в себя.

Отображение I: XY, которое отображает элемент x из X в такой же элемент, но в Y, называется вложением

Отображение g ': XY называется сужением (ограничением) отображение g: X'Y ', если X и Y является подмножествами X 'и Y' соответственно. Отображение g, в свою очередь, называется продолжением отображения g '.


9. Обратная функция

Некоторые функции имеют соответствующие обращены функции. Пусть f: XY и g: YX некоторые функции. Если композиция функций fog = E Y, где E: YY - тождественное отображение, то f называется левого обратного к g, а g - правого обратного к f. Если справедливо и fog = E Y и gof = E X, то g называется обратного отображения (функции) к f и обозначается как f -1.


См.. также


Литература


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам