Надо Знать

добавить знаний



Частичная производная



План:


Введение

В математике, частичная производная (частная производная) функции нескольких переменных - это производная по одной из переменных, причем другие переменные принимаются как константы. Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии.

Частичная производная функции f по переменной x записывается так: f x или ∂ f / ∂ x. Символ частичной производной - это закругленная форма буквы d, используемой для записи полной производной. Обозначение было предложено Лежандром и стало использоваться после его представления в работах Якоби.


1. Определение

Пусть f - функция, зависящая более чем от одной переменной. Например,

f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2.

Здесь f можно интерпретировать как семью функций от одной переменной при заиндексований другой:

f (x, y) = f_x (y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2.

Иными словами, при выборе нового значения x образуется новая функция f x, которая является функцией от одного действительного аргумента. То есть,

x \ mapsto f_x,
f_x (y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2.

Предположим, что значение x выбрано, положим его a, тогда f (x, y) определяет функцию f a, зависящую только от y: a ? + ay + y ?:

f_a (y) = a ^ 2 + ay + y ^ 2.

В этом выражении, a - константа, а не переменная, следовательно f a - функция от одного действительного аргумента - y. Согласно определения производной функции одного аргумента:

f_a

Приведенную процедуру можно осуществить для произвольной выбора a. Обобщив всю семью функций, получим производную функции f по переменной y:

\ Frac {\ part f} {\ part y} (x, y) = x + 2y.

Здесь используется символ ∂, который называют символом частичной производной.

В общем случае, частную производную функции f (x 1,..., x n) по переменной x i в точке (a 1,..., a n) записывают так:

\ Frac {\ part f} {\ part x_i} (a_1, \ ldots, a_n) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a_1, \ ldots, a_i + h, \ ldots, a_n) - f (a_1, \ ldots, a_n)} {h}.

В этом разностном отношении все переменные, кроме x i, зафиксированы. Иными словами, различный выбор индекса a приводит к образованию семьи функций как в приведенном примере. Этот пример показывает, что вычисление частичной производной, в вычислительном смысле, проще, чем полной производной.

Важным примером функции нескольких переменных является случай скалярной функции f (x 1,... x n) в евклидовом пространстве R n (например, R ? или R ?). В этом случае f имеет частную производную ∂ f / ∂ x j по каждой переменной x j. В точке a, эти частные производные определяют вектор

\ Nabla f (a) = \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x_1} (a), \ ldots, \ frac {\ partial f} {\ partial x_n} (a) \ right).

Этот вектор называют градиентом f в точке a. Если f дифференцируема в каждой точке определенной области, то градиент - векторная функия ∇ f, которая в точке a превращается в вектор ∇ f (a). Согласно градиент определен в векторном поле.


2. Примеры

Объем конуса зависит от высоты и радиуса.

Предположим V - объем конуса, он залежиить от высоты h и радиуса r по формуле

V (r, h) = \ frac {\ pi r ^ 2 h} {3}.

частичная производная объема V по радиусу r будет

\ Frac {\ partial V} {\ partial r} = \ frac {2 \ pi rh} {3}.

Она описывает, как изменяется объем конуса от изменения радиуса при постоянной высоте. Частичная производная по высоте h

\ Frac {\ partial V} {\ partial h} = \ frac {\ pi r ^ 2} {3}

и она показывает, как изменяется объем конуса при изменении высоты и устойчивому радиусе.

Теперь для сравнения найдем полные производные V по переменным r и h. Они, соответственно, имеют вид

\ Frac {\ operatorname dV} {\ operatorname dr} = \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial r} + \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ 2} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial h} \ frac {\ operatorname dh} {\ operatorname dr}

и

\ Frac {\ operatorname dV} {\ operatorname dh} = \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ 2} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial h} + \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial r} \ frac {\ operatorname dr} {\ operatorname dh}

Видим, что разница между полной и частичной производными заключается в исключении косвенных зависимостей между переменными в последний.

Теперь предположим, что по определенным причинам пропорции конуса должны остаться постоянными, и отношение между высотой и радиусом постоянное: k:

k = \ frac {h} {r} = \ frac {\ operatorname dh} {\ operatorname dr}

Это дает полную производную:

\ Frac {\ operatorname dV} {\ operatorname dr} = \ frac {2 \ pi rh} {3} + k \ frac {\ pi r ^ 2} {3}

Уравнения, содержащие частные производные, называют уравнениями в частных производных, и они часто используются в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.


3. Нотация

Пусть в дальнейшем f - функция, зависящая от x, y и z.

Частные производные первого порядка имеют вид:

\ Frac {\ partial f} {\ partial x} = f_x = \ partial_x f.

Частные производные второго порядка:

\ Frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2} = f_ {xx} = \ partial_ {xx} f.

Смешанные производные второго порядка:

\ Frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y \, \ partial x} = f_ {xy} = \ partial_ {xy} f.

Частные и смешанные производные высших порядков:

\ Frac {\ partial ^ {i + j + k} f} {\ partial x ^ i \, \ partial y ^ j \, \ partial z ^ k} = f ^ {(i, j, k)}.

Когда речь идет о функции многих переменных, стоит обратить внимание на то, что некоторые из них могут зависеть от других, и может потребоваться уточнении переменных, которые являются постоянными. В таких дисциплинах, как статистическая механика, частичная производная функции f по переменной x, при зафиксированных y и z, часто записывается так:

\ Left (\ frac {\ partial f} {\ partial x} \ right) _ {y, z}.

4. Формальное определение и свойства

Как и обычные производные, частичная производная обозначается как граница. Пусть U - открытая подмножество функции R n и f: UR. Частичной производной функции f в точке a = (a 1,..., a n)U по i-й переменной x i является

\ Frac {\ partial} {\ partial x_i} f (\ mathbf {a}) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} {f (a_1, \ dots, a_ {i-1}, a_i + h, a_ {i +1}, \ dots, a_n) - f (a_1, \ dots, a_n) \ over h}

Даже если все частные производные ∂ ​​f / ∂ x i (a) в точке a существуют, функция не обязательно в ней непрерывной. Но если все частные производные существуют в окрестности точки a и есть в нем непрерывными, то f является дифференцируемых в этом окрестности и полная производная является непрерывной. В таком случае говорят, что f принадлежит пространству функций C 1. Этот факт можно использовать для обобщения в пространство векторных функций (f: UR m), покомпонентно выбирая аргумент.

Частную производную \ Frac {\ partial f} {\ partial x} можно рассматривать как другую функцию в области U и частично дифференцировать еще раз. Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или промежутка), говорят, что f в точке (или на промежутке) принадлежит пространству функций C 2; при таких условиях частичная производная может быть заменена по теореме Клеро:

\ Frac {\ partial ^ 2f} {\ partial x_i \, \ partial x_j} = \ frac {\ partial ^ 2f} {\ partial x_j \, \ partial x_i}.

Источники

  • Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрально исчисления. т. III. - Москва: Наука, 1969.

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам