Числа Бернулли

B_0 = 1
B_1 = - \ frac12
B_2 = \ frac16
B_3 = 0
B_4 = - \ frac1 {30}
B_5 = 0
B_6 = \ frac1 {42}
B_7 = 0
B_8 = - \ frac1 {30}
B_9 = 0
B_ {10} = \ frac5 {66}
B_ {11} = 0
B_ {12} = - \ frac {691} {2730}
B_ {13} = 0
B_ {14} = \ frac76
B_ {15} = 0
B_ {16} = -7 \ frac {47} {510}

Числа Бернулли - последовательность рациональных чисел B_0, B_1, B_2 ... найдена Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

\ Sum_ {n = 1} ^ {N-1} n ^ k = \ frac1 {k +1} \ sum_ {s = 0} ^ kC ^ s_ {k +1} B_s N ^ {k +1- s} ,

где C ^ k_n - Биномиальное коэффициент.


1. Формула для чисел Бернулли

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула: B_n = \ frac {-1} {n +1} \ sum_ {k = 1} ^ {n} C_ {n +1} ^ {k +1} B_ {nk}, \ quad n \ in \ mathbb {N }

2. Свойства

  • Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B_1 , Равны нулю, знаки B_ {2n} меняются.
  • Числа Бернулли являются значениями при x = 0многочленов Бернулли : B_n = B_n (0) .

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

\ Frac x {e ^ x-1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {B_n} {n!} X ^ n, | x | <2 \ pi ,
B_ {2k} = 2 (-1) ^ {k +1} \ frac {\ zeta (2k) \, (2k)!} {(2 \ pi) ^ {2k}}.
Из чего следует
B_n =-n \ zeta (1-n) для всех n.
  • \ Int \ limits_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {2n-1} dx} {e ^ {2 \ pi x} -1} = \ frac1 {4n} | B_ {2n} |, n = 1,2, ...

В математике, числа Бернулли B n является последовательностью рациональных чисел, которая глубоким связана с теорией чисел. Они тесно связаны со значениями дзета-функции Римана для отрицательных аргументов.

Есть несколько определений для чисел Бернулли. Наиболее распространенным является B n = 0 для всех нечетных n, кроме 1 и B 1 = 1/2, но некоторые авторы используют B 1 = +1 / 2 и некоторые пишут B n для B 2 n. Значение первых ненулевых чисел Бернулли (более значений ниже):

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B n 1 1/2 1/6 0 -1/30 0 1/42 0 -1/30 0 5/66 0 -691/2730 0 7/6

Числа Бернулли были открыты примерно в одинаковое время швейцарским математиком Якобом Бернулли, в честь которого они названы, и независимо японским математиком Секи Кова. Открытие Секи было опубликовано посмертно в 1712 году [1] [2] в своей работе Katsuyo Sampo; Бернулли, также посмертно, в своем Ars Conjectandi 1713.

Они появляются в расписании в ряд Тейлора функций тангенса и гиперболического тангенса, в формуле Эйлера-Маклорена, и в выражениях для некоторых значений дзета-функции Римана.


2.1. Значения чисел Бернулли

B N = 0 для всех нечетных N ', отличное от 1. B 1 = 1/2 или 1/2 в зависимости от принятой конвенции (см. выше).

Примечания

  1. Selin, H. (1997), p. 891
  2. Smith, DE (1914), p. 108

Литература


Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.