Число

Numbers 10 января rotation illusion.gif

Число - одно из главных понятий математики, во многих случаях может выступать как мера количества чего-то.

В древности в славянских языках, слово "число" означало " знак "," символ "," понятие "," идея "[ ]. Под словом "числиты" понимали в те времена "значить", "думать", а также "записывать что-то с помощью знаков", "делать определенные действия со знаками". Позже, в частности с распространением арифметики и точных наук на Движении Петром I в XVIII в. под числами стали понимать в первую очередь те знаки, используемые для обозначения определенных количеств. В XIX и XX в., с развитием и распространением высшего, теоретической математики, слово "число" снова начинает употребляться шире - для названия знаков, обозначений и понятий, которые обозначают не только количества - комплексные числа. То же мы наблюдаем с понятиями "числиты", "исчисления" - матричное исчисление, вариационное исчисление и т. д.


1. Типы чисел

Математики постепенно расширяли набор всех известных чисел. Появление новых видов чисел и счисления тесно связана с развитием человеческого общества. Вместе с тем, на каждое расширение числовой системы можно смотреть с математической точки зрения, обосновывая такое расширение, как правило, расширением возможностей выполнять некоторую математическую операцию.

1.1. Натуральные числа

Дословно - "естественные" числа (лат. "natura" - природа). Существует выражение, что натуральные числа созданы Богом, а другие числа - произведение человеческого воображения. Натуральные числа - древнейшие числа, которые стали использовать люди, в первую очередь при счете:

1, 2, ..., 10, 11, ...

Совокупность (множество) всех натуральных чисел обозначается \ Mathbb {N} .

1.2. Целые числа

Название "целые числа" возникла в противовес числам, обозначающие "нецелые" количестве - дробям. Целые числа образуются на основе натуральных посредством введения новых понятий и обозначений нуля (0, лат. Nullus - ничто, отсутствие любого количества) и отрицательных чисел, то есть таких количеств, добавляя к которым положительные числа (которые обозначаются числами ) мы получаем ноль. Отрицательные числа обозначаются знака "-" (минус) перед натуральным числом, в сумме с которым данное отрицательное число дает 0.

Отрицательные числа получили применение во многих сферах человеческой жизни - в математике (позволили разработать понятие системы координат), в экономике (обозначение долга), в физике (отрицательные заряды, отрицательная температура), в истории (годы до нашей эры) и другие.

В множестве целых чисел (в отличие от натуральных) всегда осуществимо вычитание.

Множество целых чисел обозначается - \ Mathbb {Z} . Целые числа в математике изучают в рамках теории чисел.


1.3. Рациональные числа

Название этих чисел происходит от латинского "ratio" - "отношение", в связи с тем, что эти числа со времени своего появления обозначаются отношения двух целых чисел например, 2:5 или 2/5. Другое название - " дроби ", то есть числа, которыми можно обозначить нецелое количество предметов - полтора, треть стакана, четверть часа и т.п.. Во дробными числами, как правило, понимают те рациональные числа, которые не относятся к целым.

Появление рациональных чисел также позволила решить множество прикладных задач из разных областей науки.

В множестве рациональных чисел (в отличие от целых) всегда выполнено деления, кроме деления на 0. Интересно, что исторически проблему относительно деления было решено значительно раньше, чем проблему по вычитание, так что сначала множество натуральных чисел (вместе с нулем) был расширен до множества неотъемлемых рациональных чисел, и только потом появились отрицательные числа. Действительно, дроби намного "реальнее", чем отрицательные числа, первые проще непосредственно ощутить на жизненных примерах. Однако, с точки зрения математики выглядит несколько естественным сначала сконструировать цели отрицательные числа, а уже потом - дробные. Для школьной программы в этом вопросе характерно "исторический" подход: учащихся знакомят с дробями раньше, чем с отрицательными числами.

Множество всех рациональных чисел обозначается \ Mathbb {Q} .


1.4. Действительные числа

Название чисел отражает мнение о том, что они позволяют описывать действительность (реальность). После появления рациональных чисел стало ясно, что они не позволяют решить все задачи, стоящие перед человечеством. Среди них такие задачи, как измерение расстояний (например, диагонали единичного квадрата), поиск корней квадратных уравнений и др.. Было введено понятие иррационального (нерационального) числа - числа, которое не может быть выражено посредством отношения целых чисел. Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Распространенное обозначение действительных чисел - в виде десятичных (возможно бесконечных) дробей. Иррациональные числа в этом случае - непериодические, бесконечные десятичные дроби. Отметим, что бесконечный десятичная дробь можно рассматривать как последовательность определенных конечных десятичных дробей (т.е. рациональных чисел); предел такой последовательности равен числу, изображающего этот десятичная дробь.

В множестве действительных чисел (в отличие от рациональных) всегда осуществима действие добычи корня натурального степени из неотъемлемого числа.

Множество действительных чисел обозначается \ Mathbb {R} , Первой буквой слова "real" - настоящие.


1.5. Комплексные числа

Дословный перевод названия этих чисел - "сложены" ("сложные") числа, от лат. "Complex". Каждое комплексное число можно рассматривать как пару действительных чисел; если второй элемент этой пары равен 0, то такое комплексное число отождествляют с истинным (вследствие чего имеем действительно расширения множества действительных чисел). Те комплексные числа, не отождествлены с одним действительным числом, называются мнимыми числами (хотя существуют и другие точки зрения на значение словосочетания "мнимое число").

Комплексные числа применяются в электродинамике, квантовой механике и других областях физики.

В множестве комплексных чисел всегда осуществима действие добычи корня произвольного натурального степени из произвольного комплексного числа (в то время как, оставаясь в пределах действительных чисел, корень парного степени можно добыть только из неотъемлемого числа). Как следствие, становится возможным решить произвольное квадратное уравнение (есть даже с отрицательным дискриминанта).

Комплексные числа плодотворно используются также для решения кубических уравнений (за формулами Кардано). Интересно, что при этом часто даже для получения вещественных решений кубического уравнения приходится иметь дело с мнимыми числами на некоторых этапах решения.

Множество комплексных чисел обозначается \ Mathbb {C} , Первой буквой слова "complex" - комплексный.


1.6. Другие типы чисел

Комплексные числа могут быть расширены до кватернионов, от лат. "Quattro" ("четыре") кватернионов можно рассматривать как упорядоченную множество четырех действительных чисел. Множество кватернионов сказывается \ Mathbb {H} . Для кватернионов теряется коммутативность умножения.

В свою очередь, октонионы \ Mathbb {O} является расширением кватернионов и теряют свойство ассоциативности.

Кватернионы и октонионы являются примерами Гиперкомплексные чисел.

Таким образом, вышерассмотренных множества чисел можно записать в виде такой цепочки: \ Mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {O} .

В математике существует понятие " мощность множества ", которое является обобщением понятия" количество элементов множества "на случай, когда множество может быть бесконечной. Для описания этих мощностей вводят кардиналы или, что то же, кардинальные числа.


См.. также

Литература

  • Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan company, 1930.
  • Erich Friedman, What's special about this number?
  • Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 23 January 1989, ISBN 0-15-543468-3.
  • [Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
  • Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.
  • Alfred North Whitehead AND Bertrand Russell, Principia Mathematica To * 56, Cambridge University Press, 1910.
  • George I. Sanchez, Arithmetic in Maya, Austin-Texas, 1961.
  • А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серия "Современная математика для студентов", М., Физматлит, 1993.
  • Л. С. Понтрягин, обобщения чисел, серия "Математическая Библиотечка" М., Наука, 1965.
  • Л. Я. Жмудь. "Все есть число"? (К интерпретации "основной доктрины" пифагореизма) / / Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.
  • Бевз, Валентина Григорьевна. История математики: пособие. - М.: Издательская группа "Основа", 2006. - 171 с.
  • Конет, Иван Михайлович. Справочник по математике для учащихся и абитуриентов / И. М. Конет, Л. А. Сморжевская; Каменец-Подольский гос. ун-т. - Каменец-Подольский: Азбука, 2001. - 236 с.
  • Клочко, Игорь Яковлевич Руководство по математике для школьников и абитуриентов. - М.: Учебная книга - Богдан, 2008.
  • Математика. Комплексный справочник: [пособие] / Титаренко А. М. [и др.].; Отв. ред. Н. В. Томашевская. - М.: Торсинг плюс, 2010. - 320 с.


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность