Числовой ряд

Числовой ряд - ряд, элементами которого являются числа.

Пусть \ {A_n: n \ in \ N \} - Некоторая числовая последовательность. Для каждого n \ in \ N определена конечная сумма

S_n = a_1 + a_2 + \ cdots + a_n.

Две числовые последовательности \ {A_n: n \ in \ N \} и \ {S_n: n \ in \ N \} называются числовым рядом и обозначаются

a_1 + a_2 + \ cdots + a_n + \ cdots = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n

Число \ A_n называется n-тем членом, а число \ S_n - N-той частичной суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм \ \ {S_n \} сходится к некоторому числу \ S (См. Предел числовой последовательности), то числовой ряд называется сходящимся, а число \ S - Называется суммой этого ряда, и обозначается

S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} .

Если конечной границы не существует, то числовой ряд называется расходящимся.


1. Теоремы

Теорема 01. Если числовой ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}

совпадает, то

a_ {n} \ rightarrow 0 , n \ rightarrow \ infty

Доказательство. \ Vartriangleright Действительно, поскольку a_ {n} = S_ {n} - S_ {n - 1} , n \ geqslant 2 и S_ {n} \ rightarrow S \ in \ mathbb {R} , n \ rightarrow \ infty , То a_ {n} \ rightarrow S - S = 0 , n \ rightarrow \ infty . \ Vartriangleleft

Теорема 02. Если числовой ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}

совпадает, то

a_ {n +1} + a_ {n +2} + \ cdots + a_ {2n} \ rightarrow 0 , n \ rightarrow \ infty

Доказательство. \ Vartriangleright Рассмотрим a_ {n +1} + a_ {n +2} + \ cdots + a_ {2n} = S_ {2n} - S_ {n} \ rightarrow S - S = 0 , n \ rightarrow \ infty . \ Vartriangleleft

Теоремы 01 и 02 дают необходимые условия сходимости ряда (1).

Пример 01. Ряды

1 + 1 + 1 + \ cdots + 1 + \ cdots , (2)
1 - 1 + 1 - \ cdots + (-1) ^ {n +1} + \ cdots (3)

является расходящимися согласно теореме 01. Действительно, a_ {n} = 1 \ nrightarrow 0 , n \ rightarrow \ infty в случае ряда (1) и a_ {n} = (-1) ^ {n +1} \ nrightarrow 0 в случае ряда (2).

Пример 02. Геометрический ряд для x \ in \ mathbb {R} имеет вид

1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n} + \ cdots . (4)

Его частичная сумма

S_ {n} = \ begin {cases} n, & x = 1; \ \ \ frac {1-x ^ {n}} {1-x}, & x \ neq 1 \ end {cases}

для n \ geqslant 1 .

\ Vartriangleright Если | X | <1 то x ^ {n} \ rightarrow 0 , n \ rightarrow \ infty . То есть, при | X | <1 ряд (4) сходится к сумме \ Frac {1} {1-x} :

1 + x + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} + \ cdots = \ frac {1} {1-x} , | X | <1 .

При | X | \ geqslant 1 последовательность \ {S_ {n} \ colon n \ geqslant 1 \} конечной границы нет, так что при | X | \ geqslant 1 ряд (4) расходится. \ Vartriangleleft

Пример 03. Докажем, что

\ Frac {1} {1 \ cdot 2} + \ frac {1} {2 \ cdot 3} + \ frac {1} {3 \ cdot 4} + \ cdots + \ frac {1} {n (n +1 )} + \ cdots = 1

\ Vartriangleright Действительно, для n \ geqslant 1

S_ {n} = \ frac {1} {1 \ cdot 2} + \ frac {1} {2 \ cdot 3} + \ frac {1} {3 \ cdot 4} + \ cdots + \ frac {1} { n (n +1)} = (1 - \ frac {1} {2}) + (\ frac {1} {2} - \ frac {1} {3}) + (\ frac {1} {3} - \ frac {1} {4}) + \ cdots + (\ frac {1} {n} - \ frac {1} {n +1}) = 1 - \ frac {1} {n +1} .

Итак, S_ {n} \ rightarrow 1 , n \ rightarrow \ infty . \ Vartriangleleft

Пример 04. Гармонический ряд имеет вид

1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ cdots + \ frac {1} {n} + \ cdots

\ Vartriangleright Докажем, что этот ряд расходится. Используя теорему 02 при n \ geqslant 1 иметь

S_ {2n} - S_ {n} = \ frac {1} {n +1} + \ frac {1} {n +2} + \ cdots + \ frac {1} {2n} \ geqslant n \ frac {1 } {2n} = \ frac {1} {2} .

Таким образом, S_ {2n} - S_ {n} \ nrightarrow 0 , n \ rightarrow \ infty . Поскольку последовательность \ {S_ {n} \ colon n \ geqslant 1 \} растет и не имеет границы, то S_ {n} \ rightarrow + \ infty , n \ rightarrow \ infty . Однако рост S_ {} с ростом n происходит очень медленно. Л. Эйлер подсчитал, что S_ {1000000} \ approx 14 . Стоит также обратить внимание, что члены гармонического ряда стремятся к нулю при n \ rightarrow \ infty , То есть необходимое условие сходимости выполняется. \ Vartriangleleft


2. Свойства сходящихся рядов

1. Пусть ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}

совпадает с суммой S . Тогда для любого c \ in \ mathbb {R} ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (ca_ {n})

тоже совпадает и имеет сумму cS , То есть

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (ca_ {n}) = c \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} .

\ Vartriangleright Доказательство следует из определений. \ Vartriangleleft

2. Пусть ряды

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} ' и \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}''

совпадают с суммами S ' и S'' соответственно. Тогда ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} '+ a_ {n}'')

совпадает с суммой S '+ S'' , То есть

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} '+ a_ {n}'') \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}' + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}'' .

Определение. Для ряда

a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n} + \ cdots (1)

и числа m \ in \ mathbb {N} ряд

a_ {m +1} + a_ {m +2} + \ cdots + a_ {n} + \ cdots (2)

называется остатком исходного ряда. Если ряд (2) сходится, то r_ {m} - Сумма остатка.

3. Если ряд (1) сходится к сумме S , То совпадает любой его остаток, причем

\ Forall m \ in \ mathbb {N} \ colon S = S_ {m} + r_ {m} .

Если для некоторого n \ in \ mathbb {N} совпадает остаток (2), то ряд (1) совпадает.

4. Критерий Коши сходимости числового ряда. Для того чтобы ряд (1) совпадал, необходимо и достаточно, чтобы

\ Forall \ varepsilon> 0 \; \ exist N \ in \ mathbb {N} \; \ forall n \ geqslant N \; \ forall p \ in \ mathbb {N} \ colon \;| A_ {n +1} + a_ {n +2} + \ cdots + a_ {n + p} | <\ varepsilon .

\ Vartriangleright Этот критерий представляет собой критерий Коши для числовой последовательности \ {S_ {n} \ colon n \ geqslant 1 \} . \ Vartriangleleft


3. Смотри также

  • Признаки сходимости

Литература

  • Дороговцев А.Я. Математический анализ: Справочное пособие. М.: Высшая школа. Головное изд-во, 1985.
  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.
  • С.Т. Завало Элементы анализа. Алгебра многочленов.. - Киев: Просвещение, 1972.