Надо Знать

добавить знаний



Число пи



План:


Введение

Число пи (обозначается \ Pi ) - математическая константа, определяемая в Евклидовой геометрии как отношение длины круга l к его диаметра d .

\ Pi = \ frac {l} {d}

или как площадь круга единичного радиуса.

Число \ Pi возникло в геометрии как отношение длины окружности к длине его диаметра, однако оно появляется и в других областях математики. Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια - окружение, периферия и περίμετρος - периметр.

Длина окружности равна π, если его диаметр 1.

1. Иррациональность и трансцендентность

Число \ Piиррациональное и трансцендентное.

Иррациональность числа \ Pi была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путем разложения числа \ Frac {e-1} {2 ^ n} в непрерывный дробь. В 1794Лежандр привел строго доказательства иррациональности чисел π и π 2.

В 1882 году профессору Кенигсбергского, позже Мюнхенского университетов Фердинанду Линдеман удалось доказать трансцендентность числа π. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 г. Его доказательство добавлено к работе "Вопросы элементарной и высшей математики", ч. 1, вышедшей в Геттингене в 1908 г.

Поскольку в Евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности является функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуру круга, длившейся более 2,5 тысячи лет.

До сих пор неизвестно, есть ли π нормальным числом.


2. Соотношение

Известно много формул с числом \ Pi :

\ Frac2 \ pi = \ frac {\ sqrt {2}} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt2}} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt2}}} 2 \ cdot \ ldots
\ Frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7} \ cdot \ frac {8} {7} \ cdot \ frac {8} {9} \ cdots = \ frac {\ pi} {2}
\ Frac {1} {1} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} - \ frac {1} {7} + \ frac {1} {9} - \ cdots = \ frac {\ pi} {4}

\ Pi = 4-8 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {1} {(4k-1) (4k +1)} \ right)

e ^ {\ pi i} + 1 = 0 \;
\ Int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ e ^ {-x ^ 2} {dx} = \ sqrt {\ pi}

3. История расчетов

3.1. Античность

Самые известные записанные показания приближений числа \ Pi датируются около 1900 года д.р. н.э.; это 256/81 ≈ 3.160 (Египет) и 25/8 = 3.125 (Вавилон), оба в пределах 1 процента от истинного значения. [1] Индийский текст Шатапатха-Брахмана дает значение \ Pi как 339/108 ≈ 3.139. Считается, что пункт с Царей 7:23 и Хроник 4:2 в котором рассматривается церемониальный бассейн в церкви Царя Соломона с диаметром в десять локтей и периметром тридцать локтей, показывает что авторы считали \ Pi близким в смысле до трех, что разные ученые пытались объяснить через различные предположения такие как шестиугольный бассейн или изогнутый наружу ободок. [2]

Диаграммы вычисления числа пи Архимедом

Архимед (287-212 д.н.э), возможно, первым предложил метод вычисления \ Pi математическим способом. Для этого он вписывал в круг и описывал у него правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Таким образом, для шестиугольника получается 3 <\ pi <2 \ sqrt {3} .

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3 + \ frac {10} {71} <\ pi <3 + \ frac {1} {7} .

Птолемей в своем Альмагесте дает значение 3.1416, которое он мог получить в Аполлония из Пергского. [3]

Около 265 года н. е. математик Лю Хуэй нашел простой и точный способ итерационного алгоритма расчета числа \ Pi с любой точностью. Он лично доказал расчет до 3072-угольника и получил приближенное значение \ Pi ≈ 3.1416. [4] Позже Лю Хуей изобрел быстрый способ расчета \ Pi и получил приближенное значение 3.14 проведя расчет только для 96-угольника [4] и воспользовался того факта, что разница в площади между серией многоугольников образуют геометрическую прогрессию кратную 4.

Около 480 года китайский математик Цу Чунчжи продемонстрировал что \ Pi ≈ 355/113 (≈ 3.1415929), и показал, что 3.1415926 < \ Pi <3.1415927 [4] использовав алгоритм Лю Хуейя доказал расчет в 12288-угольника. Это значение оставалось точным приближением \ Pi течение 900 лет.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 62832/20000 = 3,1416.


3.2. Второе тысячелетие нашей эры

Ко второму тысячелетию н. е. число \ Pi было рассчитано с точностью не больше 10 цифр в записи числа. Следующий большой прогресс в изучении числа \ Pi пришел с развитием бесконечных рядов и, соответственно, с открытием математического анализа, что позволило рассчитывать \ Pi с любой желаемой точностью рассматривая необходимое количество членов такого ряда. Около 1400 года Мадхава Сангамаграма нашел первый из таких рядов:

{\ Pi} = 4 \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(-1) ^ k} {2k +1} = \ frac {4} {1} - \ frac {4} {3} + \ frac {4} {5} - \ frac {4} {7} + \ frac {4} {9} - \ frac {4} {11} + \ cdots \!

Сейчас этот ряд известен как ряд Мадхава-Лейбница [5] [6] или ряд Грегори-Лейбница поскольку его снова открыли Джеймс Грегори и Готфрид Лейбниц в 17-том веке. Однако, скорость восхождения слишком медленная, чтобы рассчитать много значащих цифр на практике; надо добавить около 4000 членов ряда, чтобы усовершенствовать приближения Архимеда. Однако, превратив ряд в такой вид

\ Begin {align} \ pi & = \ sqrt {12} \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(-3) ^ {-k}} {2k +1} = \ sqrt {12} \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(- \ frac {1} {3}) ^ k} {2k +1} \ \ & = \ sqrt {12} \ left (1 - {1 \ over 3 \ cdot3} + {1 \ over5 \ cdot 3 ^ 2} - {1 \ over7 \ cdot 3 ^ 3} + \ cdots \ right), \ end {align}

Мадхава смог рассчитать \ Pi как 3.14159265359, что правильно с точностью до 11 десятичных цифр. Этот рекорд побил Персидский математик Джамшид ал-Каши, который рассчитал \ Pi с точностью до 16 десятичных цифр. [7]

Первый значительный европейский вклад со времен Архимеда сделал немецкий математик Лудольф ван Цейлен (1536-1610). Он потратил десять лет на вычисление числа \ Pi с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довел удвоение до n-угольника, где n = 60.2 29. Изложив свои результаты в сочинении "О коло" ("Van den Cirkel"), Лудольф закончил его словами: "У кого есть желание, пусть идет дальше". После смерти в его рукописях были обнаружены еще 15 точных цифр числа \ Pi . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. [8] В честь их число \ Pi иногда называли "лудольфовим числом".

Примерно в то же время в Европе появились методы расчета бесконечных рядов и произведений. Первым таким представлением была формула Виета:

\ Frac2 \ pi = \ frac {\ sqrt2} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt2}} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt2}}} 2 \ cdot \ cdots \!

которую нашел Франсуа Виет в 1593 году. Другой известный результат - это формула Валлиса:

\ Frac {\ pi} {2} = \ prod ^ \ infty_ {k = 1} \ frac {(2k) ^ 2} {(2k) ^ 2-1} = \ frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7} \ cdot \ frac {8} {7} \ cdot \ frac {8} {9} \ cdots \ = \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {16} {15} \ cdot \ frac {36} {35} \ cdot \ frac {64} {63} \ cdots \!

найдена Джоном Валлисом в 1655. Исаак Ньютон вывел arcsin ряд для \ Pi в 1665-66 и рассчитал 15 цифр:

\ Begin {align} \ pi & = 6 \ arcsin \ frac {1} {2} \ \ & = 6 \ left (\ frac {1} {2 ^ 1 \ cdot 1} + \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ frac {1} {2 ^ 3 \ cdot 3} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right) \ frac {1} {2 ^ 5 \ cdot 5} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ right) \ frac {1} {2 ^ 7 \ cdot 7} + \ cdots \ right) \ \ & = 3 \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {\ binom {2n} n} {16 ^ n (2n +1)} \ \ & = 3 + \ frac {1} {8} + \ frac {9} {640} + \ frac {15} {7168} + \ frac {35} {98304} + \ frac {189} {2883584} + \ frac {693} {54525952} + \ frac {429} { 167772160} + \ cdots \ end {align}

хотя он позже признал: "Мне стыдно говорить как много раз я выполнил эти расчеты, не делал никаких других дел все это время." [9] Он сходится линейно в \ Pi со скоростью схлдження μ, которая придает минимум три десятичные цифры за каждые 5 слагаемых. Когда n приближается бесконечности, μ наближаетться 1/4 и 1 / μ приближается к 4:

\ Mu = \ frac {(2n-1) ^ 2} {8n (2n +1)}; \ frac {1} {\ mu} = \ frac {8n (2n +1)} {(2n-1) ^ 2} .

В 1706 Джон Мечин был первый кто рассчитал 100 десятичных цифр числа \ Pi , Используя ряды arctan в формуле:

\ Frac {\ pi} {4} = 4 \, \ mathrm {arctg} \ frac {1} {5} - \ mathrm {arctg} \ frac {1} {239}

где

\ Arctan \, x = \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(-1) ^ kx ^ {2k +1}} {2k +1} = x - \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} - \ frac {x ^ 7} {7} + \ cdots \!

Разложив арктангенс в ряд Тейлора, можно получить ряд, быстро сходится и пригоден для вычисления числа \ Pi с большей точностью. Эйлер, автор обозначения \ Pi , Получил 153 верных знаки.

В 1777 году Бюффон предложил статистический метод вычисления числа пи, известный как пример Бюффона.

В 1873 году англичанин В. Шенкс, после 15 лет работы, вычислил 707 знаков; правда, из-за ошибки только первые 527 из них были правильными. Чтобы предотвратить подобные ошибки, современные расчета такого рода осуществляются дважды. Если результаты совпадают, то они со значительной вероятностью правильные. Ошибка Шенкса было обнаружено в 1948 году одним из первых компьютеров, им же за несколько часов было вычислено 808 знаков \ Pi .

Теоретические достижения в 18-м века привели к постижению природы числа \ Pi , Чего не удалось бы достичь только самыми численными расчетами. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность \ Pi 1761 года, а Адриен-Мари Лежандр 1774 доказал иррациональность \ Pi 2. Тогда как Леонард Эйлер 1735 решил знаменитую Базельскую задачу и в результате нашел точное значение Римановой дзета-функции для числа 2.

\ Zeta (2) = \ sum ^ \ infty_ {k = 1} \ frac {1} {k ^ 2} = \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \!

равный \ Pi 2/6, таким образом он установил глубокую связь между \ Pi и простыми числами. Оба Лежандр и Эйлер предполагали что число \ Pi может быть трансцендентное, что в конечном итоге и доказал Фердинанд фон Линдеман 1882 года.


3.3. Вычисления в эпоху компьютеров

Практически физикам нужно только 39 цифр числа \ Pi , Чтобы сделать круг размером как видим вселенную с точностью до размера атома водорода. [10]

Наступлением эпохи цифровых компьютеров в 20-м веке привело к росту числа новых рекордов в расчете числа \ Pi . Джон фон Нейман и его команда использовали ENIAC чтобы рассчитать 2037 цифр числа \ Pi 1949 года, этот расчет длился 70 часов. [11] дополнительные тысячи десятичных разрядов получили в последующие десятилетия, а рубеж в миллион цифр пересекли в 1973 году. Прогресс был вызван не только быстрыми компьютерами, но и новыми алгоритмами. Один из самых значительных прорывов было открытие быстрого преобразования Фурье в 1960-х, что позволило компьютерам делать быстро арифметические действия с чрезвычайно большими числами.

В начале 20-го века индийский математик Сриниваса Рамануджан открыл много новых формул для числа \ Pi , Некоторые из них стали знаменитые через свою элегантность и математическая глубину. [12] Вычислительные алгоритмы, основанные на формулах Рамануджан работают очень быстро. Одна из этих формул:

\ Frac {1} {\ pi} = \ frac {2 \ sqrt {2}} {9801} \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(4k)! (1103 +26390 k)} {(k! ) ^ 4 \, 396 ^ {4k}}

где k! - Это факториал k

А вот также подборка других формул: [13]

\ Pi = \ frac {1} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {((2n)!) ^ 3 (42n +5)} {(n!) ^ 6 {16} ^ {3n +1}} \!
\ Pi = \ frac {4} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ n (4n)! (21460n +1123)} {(n!) ^ 4 {441} ^ {2n +1} { 2} ^ {10n +1}}
\ Pi = \ frac {4} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(6n +1) \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 3_n} {{4 ^ n} (n!) ^ 3} \!
\ Pi = \ frac {32} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {\ sqrt {5} -1} {2} \ right) ^ {8n} \ frac {(42n \ sqrt {5} +30 n + 5 \ sqrt {5} -1) \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 3_n} {{64 ^ n} (n!) ^ 3} \!
\ Pi = \ frac {27} {4Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {2} {27} \ right) ^ n \ frac {(15n +2) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {3} \ right) _n \ left (\ frac {2} {3} \ right) _n} {(n!) ^ 3} \!
\ Pi = \ frac {15 \ sqrt {3}} {2Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {4} {125} \ right) ^ n \ frac {(33n +4) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {3} \ right) _n \ left (\ frac {2} {3} \ right) _n} {(n!) ^ 3} \!
\ Pi = \ frac {85 \ sqrt {85}} {18 \ sqrt {3} Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {4} {85} \ right) ^ n \ frac {(133n +8) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {6} \ right) _n \ left (\ frac {5} {6} \ right) _n} {(n!) ^ 3} \!
\ Pi = \ frac {5 \ sqrt {5}} {2 \ sqrt {3} Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {4} {125} \ right) ^ n \ frac {(11n +1) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {6} \ right) _n \ left (\ frac {5} {6} \ right) _n} {(n!) ^ 3} \!
\ Pi = \ frac {2 \ sqrt {3}} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(8n +1) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {4} \ right ) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 3 {9} ^ {n}} \!
\ Pi = \ frac {\ sqrt {3}} {9Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(40n +3) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {4} \ right ) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 3 {49} ^ {2n +1}} \!
\ Pi = \ frac {2 \ sqrt {11}} {11Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(280n +19) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {4} \ right ) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 3 {99} ^ {2n +1}} \!
\ Pi = \ frac {\ sqrt {2}} {4Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(10n +1) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {4} \ right ) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 3 {9} ^ {2n +1}} \!
\ Pi = \ frac {4 \ sqrt {5}} {5Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(644n +41) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1} {4} \ right ) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 35 ^ n {72} ^ {2n +1}} \!
\ Pi = \ frac {4 \ sqrt {3}} {3Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ n (28n +3) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1 } {4} \ right) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 3 {3 ^ n} {4} ^ {n +1}} \!
\ Pi = \ frac {4} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ n (20n +3) \ left (\ frac {1} {2} \ right) _n \ left (\ frac {1 } {4} \ right) _n \ left (\ frac {3} {4} \ right) _n} {(n!) ^ 3 {2} ^ {2n +1}} \!
\ Pi = \ frac {72} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ n (4n)! (260n +23)} {(n!) ^ 44 ^ {4n} 18 ^ {2n}} \!
\ Pi = \ frac {3528} {Z} \!Z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ n (4n)! (21460n +1123)} {(n!) ^ 44 ^ {4n} 882 ^ {2n}} \!

где

(X) _n \!

это символ Покхемера для нисходящего факториала.

Связанную формулу открыли принимать Чудновский 1987

\ Frac {1} {\ pi} = 12 \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(-1) ^ k (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ 3 \, 640320 ^ {3k + 3/2}}

который дает 14 цифр за один член ряда. [12] Чудновский использовали эту формулу чтобы установить несколько рекордов по вычисления числа \ Pi в конце 1980-х, включая с первым вычислением более 1 миллиарда (1,011,196,691) знаков 1989 года. Эта формула остается хорошим выбором для расчета \ Pi на программах, работающих на персональном компьютере, в противовес суперкомпьютерам, используемые для установки современных рекордов.

Тогда как ряды обычно повышают точность на определенное количество разрядов за каждый член ряда, существуют также алгоритмы, многократно увеличивают количество правильных цифр за каждую подход, с тем недостатком, что каждый шаг требует значительного количества вычислительных ресурсов. Прорыв был сделан 1975 когда Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента-Саламина, в котором используются только арифметические действия для удвоения количества правильных цифр за каждый шаг. [14] На начальном этапе алгоритма установим такие исходные значения:

a_0 = 1 \ quad \ quad \ quad b_0 = \ frac {1} {\ sqrt 2} \ quad \ quad \ quad t_0 = \ frac {1} {4} \ quad \ quad \ quad p_0 = 1 \!

и проводим итерации

a_ {n +1} = \ frac {a_n + b_n} {2} \ quad \ quad \ quad b_ {n +1} = \ sqrt {a_n b_n} \!
t_ {n +1} = t_n - p_n (a_n-a_ {n +1}) ^ 2 \ quad \ quad \ quad p_ {n +1} = 2 p_n \!

до тех пор пока a n and b n не станут достаточно близки. Тогда оценка значения \ Pi производится по формуле:

\ Pi \ approx \ frac {(a_n + b_n) ^ 2} {4 t_n}. \!

Работая по этой схеме достаточно сделать 25 итераций чтобы достичь точности 45000000 правильных знаков. Похожий алгоритм, вчетверо увеличивает точность за каждый шаг нашли Джонатан и Питер Боруейны. [15] Этот метод использовали Ясумаса Канада и его команда, чтобы установить большинство рекордов из расчета числа \ Pi начиная с 1980 года вплоть до расчета 206,158,430,000 десятичных знаков числа п 1999 года. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд - 1,241,100,000,000. Хотя большинство предыдущих рекордов были установлены с помощью алгоритма Брента-Саламина, при расчетах 2002 использовали формулы тупую Мечиновських, которые хотя и нуждались больше итераций, зато радикально снижали использование памяти. Расчеты делали на суперкомпьютере Hitachi с 64 узлов и с 1 терабайтом оперативной памяти, который был способен выполнять 2 триллиона операций в секунду.

В январе 2010 года рекорд был почти 2.7 триллиона знаков, его установил французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере [16] Это побило предыдущий рекорд 2,576,980,370,000 знаков, установил Дайзуке Такахаши на T2K-Tsukuba System, суперкомпьютер университета Цукуба, что в Токио. [17] 6 августа 2010 в PhysOrg.com опубликовано новость, что японский и американский компьютерные специалисты Шигеру Кондо и Александр Йи заявили, что они рассчитали значения \ Pi до 5 триллионов знаков на персональном компьютере, удвоив предыдущий рекорд. [18]

В 1997 году Дэвид Х. Бейли, Питер Боруейн и Саймон Плафф изобрели способ [19] быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа \ Pi без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

\ Pi =

3.4. Представление в виде цепной дроби

Последовательность из частных знаменателей простого цепной дроби для \ Pi не дает никакой очевидной схемы

\ Pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, \ cdots]

или

\ Pi = 3 + \ textstyle \ cfrac {1} {7 + \ textstyle \ cfrac {1} {15 + \ textstyle \ cfrac {1} {1 + \ textstyle \ cfrac {1} {292 + \ textstyle \ cfrac { 1} {1 + \ textstyle \ cfrac {1} {1 + \ textstyle \ cfrac {1} {1 + \ ddots}}}}}}}

Однако если использовать обобщенные цепные дроби то получим определенные закономерности: [20]

\ Pi = \ textstyle \ cfrac {4} {1 + \ textstyle \ cfrac {1 ^ 2} {2 + \ textstyle \ cfrac {3 ^ 2} {2 + \ textstyle \ cfrac {5 ^ 2} {2 + \ textstyle \ cfrac {7 ^ 2} {2 + \ textstyle \ cfrac {9 ^ 2} {2 + \ ddots}}}}}} = 3 + \ textstyle \ cfrac {1 ^ 2} {6 + \ textstyle \ cfrac {3 ^ 2} {6 + \ textstyle \ cfrac {5 ^ 2} {6 + \ textstyle \ cfrac {7 ^ 2} {6 + \ textstyle \ cfrac {9 ^ 2} {6 + \ ddots}}}} } = \ textstyle \ cfrac {4} {1 + \ textstyle \ cfrac {1 ^ 2} {3 + \ textstyle \ cfrac {2 ^ 2} {5 + \ textstyle \ cfrac {3 ^ 2} {7 + \ textstyle \ cfrac {4 ^ 2} {9 + \ ddots}}}}}

4. Приближение

Приближенное значение с точностью до 1000 десятичных знаков:

 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 ​​50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 


Простой метод запомнить число \ Pi с точностью до шести значащих цифр после запятой:

выпишем парами первые три натуральных нечетных числа: 113355.
разделим список наполовину и поделим второе число на первое: {355 \ over 113} = 3.141592 \ ldots

Ученые всегда пытались вычислить число \ Pi с максимально возможной точностью. Так, например, в 1949 году с помощью компьютера ENIAC было вычислено число \ Pi до 2037 знаков, а в 1995 - уже 4.294.960.000 знаков.

Непосредственно из определения числа \ Pi как отношение длины окружности к ее диаметру получаем один из возможных методов вычисления этого числа. Определив длину дуги окружности и его диаметр, а затем поделив первое число на второе, получим приближенное значение числа \ Pi . Но точность найденного таким методом значение числа \ Pi зависит от точности измерения длины дуг и отрезков, кроме того, мы никогда не имеем дела с идеальным кругом.


5. Использование в физике

Число пи, хотя и не является физической константой очень часто фигурирует в физических формулах, благодаря тому, что у них часто неявно заложены свойства круга, особенно в случае симметрии, при которой удобно использовать полярную, цилиндрическую или сферическую систему координат. Другим источником появления числа пи в физических формулах является использование нормального распределения :

f (x; \ mu; \ sigma) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} \, \ exp \ left (- \ frac {(x-\ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} \ right)

и преобразований Фурье, основанных на соотношении:

\ Int_ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {i (\ omega ^ \ prime - \ omega) t} dt = 2 \ pi \ delta (\ omega ^ \ prime - \ omega) ,

где \ Delta (x) - дельта-функция Дирака.

Более глубокий математический рассмотрение дает основания утверждать, что такие свойства тоже связаны с кругом и полярной или сферической симметрией, например через тригонометрические функции.


6. Другое

  • В августе 2009 года японские ученые подсчитали число "пи" с точностью до 2 триллионов 576 миллиардов 980 миллионов 377 тысяч 524 знаков после запятой [21].

См.. также

7. Сноски

  1. "About Pi". Ask Dr. Math FAQ . http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html . Проверено 2007-10-29 .
  2. Borwein, Jonathan M. Mathematics By Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. - С. 103, 136, 137. - AK Peters, 2 edition (27 Oct 2008). ISBN 978-1568814421.
  3. C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 168.
  4. а б в C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 202.
  5. George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy Special Functions. - Cambridge University Press, 1999. ISBN 0521789885.
  6. Gupta RC On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series / / Ganita Bharati. - 14. - (1992) (1-4) 68-71.
  7. Joseph, George Gheverghese The Crest Of The Peacock: Non-European Roots Of Mathematics 3rd. - Princeton University Press, 2010. ISBN 978-0-691-13526-7.
  8. Charles Hutton Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms .... - London: Rivington, 1811.
  9. Gleick, James (1987-03-08). "Even Mathematicians Can Get Carried Away". New York Times . http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9B0DE0DB143FF93BA35750C0A961948260 . Проверено 2011-01-29 .
  10. Young, Robert M. Excursions In Calculus. - Washington: Mathematical Association of America (MAA), 1992. ISBN 0883853175.
  11. "An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11-15. (January, 1950)
    "Statistical Treatment of Values ​​of First 2,000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), pp. 109-111. (April, 1950)
  12. а б "The constant \ Pi : Ramanujan type formulas" . http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html . Проверено 2007-11-04 .
  13. Simon Plouffe / David Bailey. "The world of Pi". Pi314.net . http://www.pi314.net/eng/ramanujan.php . Проверено 2011-01-29 .
    "Collection of series for Шаблон: Pi ". Numbers.computation.free.fr . http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html . Проверено 2011-01-29 .
  14. Brent, Richard, " Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation ", Academic Press, с. 151-176. Проверено 2007-09-08.
  15. Borwein, Jonathan M Pi: A Source Book. - Springer, 2004. ISBN 0387205713.
  16. " Pi calculated to 'record number' of digits ", bbc.co.uk, 2010-01-06. Проверено 2010-01-06.
  17. Pi-obsessed Japanese reach 2.5 trillion digits 2009-08-20
  18. 5 Trillion Digits of Pi - New World Record
  19. ON THE RAPID COMPUTATION OF VARIOUS POLYLOGARITHMIC CONSTANTS
  20. Lange LJ An Elegant Continued Fraction For \ Pi / / The American Mathematical Monthly. - 106. - (May 1999) (5) 456-458. DOI : 10.2307/2589152.
  21. Японцы побили рекорд по точности вычисления числа Пи (Рус.)

Источники

  • Beckmann, Petr (1989). A History of Pi. Barnes & Noble Publishing. ISBN 0-88029-418-3. (Англ.)
  • Жуков А.В. Вездесущее число "пи". Изд.3 2009. (Рус.)

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам