Шар

Куля.png

Шар - это множество всех точек пространства, находящихся от заданной точки O на расстоянии не более за данную расстояние R . При этом точка O называется центром, а R - радиусом шара. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Поверхность шара называется сферой. Также очень часто пулей называют часть пространства, ограниченную сферой.


1. Пуля в аналитической геометрии

(X - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 + (z - c) ^ 2 \ le R ^ 2 - уравнения шара с центром в точке с координатами (A, b, c) и радиусом R .

Вообще, уравнения шара в n-мерном пространстве выглядит как

(X_1 - a_1) ^ 2 + (x_2 - a_2) ^ 2 + \ ldots + (x_n - a_n) \ le R ^ 2 , Где (A_1, a_2, \ ldots, a_n) - координаты ее центра.

Пуля в 2-мерном пространстве - круг, а в n-мерном, если n \ ge 4 , Она называется гиперкулею.


2. Площадь сферы и объем шара

Площадь сферы, ограничивающей шар с радиусом R , Можно подсчитать по формуле

S = 4 \ pi R ^ 2 \, \! , Что примерно равно 12,6 R ^ 2 \, \! .

Площадь поверхности шара является наименьшей среди площадей поверхностей стереометрических тел с одинаковым объемом.
Объем шара можно найти по формуле

V = \ frac {4 \ pi R ^ 3} {3} \ approx 4,2 R ^ 3 \, \! .

3. Сечение шара плоскостью

Любой сечение шара плоскостью является круг. Центр этого круга является основой перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Радиус такого сечения определяется формулой

r = \ sqrt {R ^ 2 - l ^ 2} , Где R - радиус шара, l - Расстояние от центра шара к сечению.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью, сечение ней шара - большим кругом, а сечение сферы - большим кругом. Радиус большого круга и большого круга равна радиусу шара. Любая диаметральная плоскость шара является ее плоскостью симметрии.


4. Части пули

Части пули: зеленым цветом обозначены сектор, серым - сегмент, желтым - срез шара.

4.1. Сегмент

Сегмент шара - это та ее часть, которая образуется в результате сечения плоскостью. Основными величинами, которые характеризуют сегмент, является радиус шара R и длина перпендикуляра, опущенного на центр сечения с сферы, H . Длина этого перпендикуляра также равна разницы между радиусом R и расстоянием от центра к сечению l , Т.е. H = R - l . Таким образом объем сегмента равен

V = \ frac {1} {3} \ pi H ^ 2 (3R - H) ,

а площадь поверхности -

S = 2 \ pi RH \, \!



4.2. Срез

Срез - это стереометрических тело, образованное сечениями шара двумя параллельными плоскостями. Он характеризуется следующими величинами:

  • Радиус соответствующей шара, R ;
  • Расстояние между двумя сечениями, H ;
  • Радиусы обоих сечений, r_1, r_2 .

Объем среза определяется формулой

V = \ frac {1} {6} \ pi H ^ 3 + \ frac {1} {2} \ pi (r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2) H ,

а площадь поверхности -

S = 2 \ pi RH \, \! .

4.3. Сектор

Сектор состоит из шарового сегмента и конуса, основание которого совпадает с основой сегмента, а вершина - с центром шара. Сектор характеризуют радиус шара R и длина перпендикуляра, опущенного на центр основы конуса из сферы, H . Объем сектора:

V = \ frac {2} {3} \ pi R ^ 2 H .

Площадь его поверхности:

\ Pi R (2H + \ sqrt {2HR - H ^ 2}) .

5. Вписанные и описанные шары

5.1. Описанная шар

Пуля называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара ( сферы). В этом случае многогранник называют вписанным в шар. Центр шара, описанной вокруг многогранника, равноудален от всех его вершин, то есть точкой пересечения плоскостей, проведенных через середины ребер многогранника ( призмы, пирамиды) перпендикулярно к ним. Расстояние от центра шара к вершинам многогранника - его радиус.


5.2. Вписан шар

Пуля называется вписанной в многогранник, если все грани многогранника касаются к шару. Многогранник в этом случае называется описанным вокруг шара (сферы). Центр шара, вписанного в многогранник, равноудален от всех граней. Он является точкой пересечения полуплоскостей, проведенных через ребра двугранных углов, образованных двумя смежными гранями, которые разделяют этот угол пополам. Расстояние от центра шара к граней - его радиус.


6. Дополнительные сведения

Пуля так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Она образуется при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Этот диаметр называют осью шара, а его конце - полюсами шара.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходит через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.


7. Пуля как объект с наименьшей площадью поверхности

См.. также