Эллипс

Эллипс с фокусами

Эллипс в геометрии - линия второго порядка.

Термин происходит от греч. ἔλλειψις - Недостаток, пробел, выпадения (подразумевается "неполнота" или "дефектность" эллипсу сравнению с "полным" кругом или кругом).


1. Аналитическое определение

Эллипс в прямоугольной системе координат

Эллипсом называют линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением:

\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1

Эллипс относится к кривых второго порядка.


2. Определяющая свойство эллипса

Точки \ Left. F_1 \ right. и \ Left. F_2 \ right. называют фокусами эллипса, а расстояние между ними - фокусным расстоянием, ее обозначают через \ Boldsymbol {2c} , Следовательно, \ Left | F_1 F_2 \ right | = 2c . Сумму расстояний от любой точки \ Left. M \ right. эллипса до фокусов \ Left. F_1 \ right. и \ Left. F_2 \ right. обозначим \ Boldsymbol {2a} . Тогда по определению имеем: \ Left. 2a> 2c, \; a> c \ right. . Отсюда можно сказать, что эллипс состоит из таких и только таких точек \ Left. M \ right. , Которые удовлетворяют условию: \ Left | F_1 M \ right | + \ left | F_2 M \ right | = 2a


3. Геометрическое определение

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек \ Left. F_1 \ right. и \ Left. F_2 \ right. этой плоскости есть величина постоянная, больше расстояние между \ Left. F_1 \ right. и \ Left. F_2 \ right. .

4. Элементы эллипса

4.1. Вершины эллипса

Точки A, \; A_1, \; B, \; B_1 пересечения эллипса с осями прямоугольной системы координат, выбранной так, чтобы начало координат был серединой отрезка \ Left | F_1 F_2 \ right | , А ось \ Left. Ox \ right. совпадала с прямой \ Left (F_1 F_2 \ right) , Называют вершинами эллипса.

4.2. Оси эллипса

Отрезок \ Left | A A_1 \ right | = 2a , Проходящая через оба фокусы \ Left. F_1 \ right. и \ Left. F_2 \ right. , Называют большой осью эллипса, а перпендикулярно ему отрезок \ Left | B B_1 \ right | = 2b , Пересекающийся с большой осью в центре эллипса \ Left. O \ right. - Соответственно его малой осью. Длина этих отрезков соответствует условию \ Left. a ^ 2 - b 2 = c ^ 2 \ right. . Эллипс симметричен относительно своих осей и центра.


4.3. Директриса и эксцентриситет

Число e = {c \ over a} это эксцентриситет эллипса, величина, характеризующая его вытянутость, для эллипсу \ Boldsymbol {e} <1 . Прямые, уравнение x = - {a \ over e} \ quad \ mbox {i} \ quad x = {a \ over e} называются Директриса эллипса, соотношение расстояния от любой точки эллипса до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянное и равно эксцентриситета.

Заметим, что величинами, которые характеризуют эллипс, есть большая и малая полуоси \ Boldsymbol {a} и \ Boldsymbol {b} , Расстояние \ Boldsymbol {c} фокуса от центра, эксцентриситет \ Boldsymbol {e} . Зависимость между ними выражается формулами: a 2 = b ^ 2 + c ^ 2, \; e = {c \ over a} . Поэтому, чтобы составить уравнение эллипса, достаточно знать или полуоси \ Left. a \ right. и \ Left. b \ right. , Или одну полуось и эксцентриситет и т.д.

Если точки \ Left. F_1 \ right. и \ Left. F_2 \ right. совпадают, то эллипс становится кругом радиуса \ Left. a \ right. . При этом \ Left.a = b, \; e = 0 \ right. . Итак, круг является частным случаем эллипса.


5. Различные виды уравнений эллипса

5.1. Каноническое уравнение эллипса

\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1

5.2. Параметрическое уравнение эллипса

\ Left \ {\ begin {matrix} x = a \ cos \ alpha \ \ y = b \ sin \ alpha \ end {matrix} \ right.

5.3. Нормальное уравнение эллипса

\ Frac {(x-x_0) ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {(y-y_0) ^ 2} {b ^ 2} = 1

6. Длина дуги эллипса

Длина дуги эллипса вычисляется по формуле:

l = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dy} {dt} \ right) ^ 2} \, dt.

Использовав параметрический запись эллипса получаем следующее выражение:

l = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {a ^ 2 \ sin ^ 2 t + b ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt.

После замены b 2 = a ^ 2 \ left (1 - e ^ 2 \ right) выражение длины дуги принимает окончательный вид:

l = a \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {1 - e ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt, \; \; \; e <1.

Полученный интеграл принадлежит к семейству эллиптических интегралов, которые не выражаются в элементарных функциях, и сводится к эллиптического интеграла второго рода E \ left (t, e \ right) . В частности, периметр эллипса равна:

l = 4a \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1 - e ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt = 4aE (e) ,

где E \ left (e \ right) - Полный эллиптический интеграл Лежандра второго рода.


6.1. Приближенные формулы периметра

YNOT: L = 4 \ cdot \ left (a ^ x + b ^ x \ right) ^ \ left (1 / x \ right) , Где x = \ frac {ln2} {ln (\ frac {\ pi} {2})} Максимальная погрешность этой формулы составляет близка 0,3619% при эксцентриситете эллипса 0,979811 (отношение осей ~ 1/5). Погрешность всегда положительна.

Очень приближенная формула: L = \ pi \ cdot \ left (a + b \ right)

7. Касательная

Уравнения касательной к эллипсу через точку \ Left. M_0 \ right. , Которая принадлежит эллипсу

\ Frac {x x_0} {a ^ 2} + \ frac {y y_0} {b ^ 2} = 1

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал