Ячейки Бенара

Ячейки Бенара в гравитационном поле.

Ячейки Бенара или Рэлея - Бенара - упорядоченные конвективные ячейки в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, т.е. среда с равномерным подогревом снизу.

Ячейки Рэлея - Бенара является одним из трех стандартных примеров самоорганизации, наряду с лазером и реакцией Белоусова - Жаботинского.

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия, в результате чего возникают неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородного распределения температуры в объеме. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерни) [1]. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационные диаграммы или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается в центре и опускается гранями ячейки [2]. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь действительно наблюдается конвекция Марангони, возникающей за счет действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.


1. Аналитическое решение задачи (проблема Рэлея)

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи ее в приближении Буссинеска можно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простой точное решение удается найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформированной пределами слоя (как сверху, так и снизу), реалистичные варианты таких решений нет (но для них хорошо работают приближенные аналитические методы, например метод Галеркина).

Приведем здесь решение задачи [3], [4]. Примем, что ось z направлена ​​вверх, перпендикулярно к слою, оси x и y параллельные границам. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

\ Frac {\ partial \ vec {v}} {\ partial t} + (\ vec v \ cdot \ nabla) \ vec v = - \ frac {1} {\ rho_0} \ nabla p + \ nu \ Delta \ vec v - \ beta T \ vec g,
\ Frac {\ partial T} {\ partial t} + \ vec v \ cdot \ nabla T = \ chi \ Delta T,
\ Operatorname {div} \; \ vec v = 0.

Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. "Нормальные" возмущения) - \ Vec v, \ theta \ sim e ^ {\ lambda t} :

\ Frac {\ lambda} {Pr} \ vec v = - \ nabla p + \ Delta \ vec v + Ra \ theta \ vec e_z,
\ Lambda \ theta = \ Delta \ theta + \ vec v \ cdot \ vec e_z,
\ Operatorname {div} \ vec v = 0,

где \ Vec e_z - Единичный вектор оси z, Pr, Ra - Соответственно число Прандтля и число Рэлея, \ Lambda - инкремент нарастания (скорость роста) возмущений. После обезрозмирювання переменная z изменяется от 0 до 1. Так называемые "нормальные" возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых разных областях.

Постановка граничных условий делается в предположении, что обе границы не деформируются, но свободные - при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

\ Vec v \ cdot \ vec e_z = 0 , - Недеформованисть границ.

\ Sigma_ {xz} = \ sigma_ {yz} = 0 - Отсутствие касательных напряжений. Поскольку считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнения Навье-Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

\ Sigma_ {ij} = \ eta \ left (\ frac {\ partial v_i} {\ partial x_j} + \ frac {\ partial v_j} {\ partial x_i} \ right) - Закон Навье,

Принимая обозначения для компонент скорости: \ Vec v = \ left \ {u, v, w \ right \} , Перепишем граничное условие для касательных напряжений в терминах скорости:

\ Frac {\ partial u} {\ partial z} = 0,
\ Frac {\ partial v} {\ partial z} = 0 .

Для возмущений температуры на границах принимается нулевое значение. В результате, система граничных условий задачи такова:

z = 0,1:
w = 0; \ frac {\ partial u} {\ partial z} = \ frac {\ partial v} {\ partial z} = 0; \ theta = 0

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству - \ Vec v, p, \ theta \ sim e ^ {\ lambda t} e ^ {i \ vec k \ cdot \ vec r} (Здесь \ Vec k - волновой вектор возмущения, параллелен плоскости xy ) И заменяя операторы дифференцирования - \ Delta = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} - k ^ 2, \ nabla = \ left \ {i \ vec k; \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \} , Можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений :

\ Frac {\ lambda} {Pr} \ vec v = - \ nabla p + \ Delta \ vec v + Ra \ theta \ vec e_z,
\ Lambda \ theta = \ Delta \ theta + w,
\ Operatorname {div} \ vec v = 0.

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

\ Frac {\ lambda} {Pr} \ Delta w = \ Delta ^ 2 w + k ^ 2 Ra \ theta,
\ Lambda \ theta = \ Delta \ theta + w.

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе четного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

w = a \ sin \; n \ pi z,
\ Theta = b \ sin \; n \ pi z,

где n - целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Типичная нейтральная кривая для задачи конвекции в плоском слое

Далее, обозначая D = n ^ 2 \ pi ^ 2 + k ^ 2 , И подставляя предполагаемый вид решения в уравнение, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. С ее определителя можно выразить зависимость Ra (\ lambda) :

Ra (\ lambda) = \ frac {1} {Pr k ^ 2} \ left (D \ lambda ^ 2 + D ^ 2 (1 + Pr) \ lambda + Pr D ^ 3 \ right)

Принимая здесь \ Lambda = 0 - Предел монотонной устойчивости, незростання нормальных возмущений - получим формулу для определения критического числа Рэлея n-й моды возмущений:

Ra ^ * = \ frac {(k ^ 2 + n ^ 2 \ pi ^ 2) ^ 3} {k ^ 2}.

Наименьшее число Рэлея получится при n = 1 . Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на k = \ frac {\ pi} {\ sqrt {2}} , А минимальное число Рэлея равно Ra ^ * = \ frac {27} {4} \ pi ^ 4 \ approx 657 . Согласно критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины \ Sqrt {2} (В безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. Например, для слоя с двумя твердыми пределами оно равно 1708 [5], для слоя с твердой верхней и нижней свободной пределами - 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не меняется.


Примечания

  1. Ван Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 - c. 84, рис. 139-140
  2. Ван Дайк-М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 - c. 85, рис. 140-141
  3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. / / М.: Наука, 1972 - ? 5
  4. Фрик П. Г. турбулентности: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 / / Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 - с. 33-37
  5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М., там же, ? 6

См.. также