4-вектор

4-вектор - это аналог трехмерного вектора в четырехмерном пространстве-времени, составленном переменными ct и x, y, z обычного пространства.

В этом определении t - время, c - скорость света.

При переходе от обычных векторов трехмерного пространства до 4-векторов основные уравнения физики набирают простой формы.


1. Четырехмерное пространство-время

Каждая событие характеризуется местом и временем. То есть ее можно характеризовать с помощью четырех чисел: время t и декартовыми координатами x, y, z. Если домножить время на универсальную постоянную скорость света, то можно определить так называемый радиус-вектор в четырехмерном пространстве (x 0, x 1, x 2, x 3), где x ^ 0 = ct, x ^ 1 = x, x 2 = y, x ^ 3 = z) . Это пространство называют пространством Минковского.

Очевидно, что значение x, y, z зависят от выбора системы координат. При переходе от одной инерциальной системы координат к другой изменяется также значение времени згдино с преобразованиями Лоренца. Так при переходе к системе координат, движущейся относительно исходной системы со скоростью V вдоль оси x, получим:

x ^ {0} = \ frac {x ^ {0 \ prime} + \ beta x ^ {1 \ prime}} {\ sqrt {1 - \ beta ^ 2}}
x ^ 1 = \ frac {x ^ {1 \ prime} + \ beta x ^ {0 \ prime}} {\ sqrt {1 - \ beta ^ 2}} ,

где \ Beta = \ frac {V} {c} .

Радиус-вектор события является первым примером 4-вектора, который называют 4-радиус-вектором.


2. Определение

Произвольная четверка чисел (A 0, A 1, A 2, A 3), при переходе от одной системы координат к другой перетоврюеться аналогично 4-радиус-вектора называется ковариантрим 4-вектором.

Четверка чисел (A 0, - A 1, - A 2,-A 3) называется контравариантим 4-вектором. Контравариантни 4-векторы обозначаются нижними индексами.

(A 0, A 1, A 2, A 3) = (A 0, - A 1, - A 2,-A 3).

Скалярным произведением двух 4-векторов называется выражение

\ Sum_ {i = 1} ^ 4 A ^ i B_i .

Знак суммы в скалярном произведении принято не писать, считая, что повторение индекса внизу и вверху автоматически означает суммирование по этому индексу.

Скалярное произведение 4-векторов при переходе к другой системе коодинат не меняется.

Иногда 4-векторы записываются в форме (A ^ 0, \ mathbf {A}) .


3. Примеры 4-векторов

Четверка операторов

\ Left (\ frac {1} {c} \ frac {\ partial} {\ partial t}, \ frac {\ partial} {\ partial x ^ 1}, \ frac {\ partial} {\ partial x ^ 2} , \ frac {\ partial} {\ partial x ^ 3} \ right)

является контравариантним 4-Вектра, аналогом оператора градиента Гамильтона.

4-скорость визначается, как

u ^ i = \ frac {dx ^ i} {ds}

где ds - пространственно-временной интервал между бесконечно близкими событиями, и равна:

u ^ i = (\ frac {1} {\ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2}}, \ frac {\ mathbf {v}} {c \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} }) ,

где \ Mathbf {v} - Обычная трехмерная скорость. 4-скорость - безразмерная величина.

Для 4-скорости справедливо соотношение

u ^ iu_i = 1 .

4-импульс частицы определяется как

p ^ i = mcu ^ i = \ left (\ frac {E} {c}, \ mathbf {p} \ right) .

где m - масса частицы, E - энергия частицы.

Для 4-импульса справедливо соотношение: p ^ ip_i = m ^ 2 c ^ 2 .

4-ускорение - это вторая производная от 4-радиуса относительно пространственно-временного интервала

w ^ i = \ frac {d ^ 2 x ^ i} {ds ^ 2} = \ frac {d u ^ i} {ds} .

Для 4-ускорения справедливо соотношение

u_i w ^ i \ = 0 ,

есть 4-ускорения ортогональное до 4-скорости.

4-потенциал электромагнитного поля определяется как (\ Varphi, \ mathbf {A}) ,

где φ - электрический потенциал, а \ Mathbf {A} - векторный потенциал магнитного поля.

4-плотность тока определяется, как (C \ rho, \ mathbf {j}) . Уравнение непрерывности тогда принимает форму \ Frac {\ partial j ^ i} {\ partial x ^ i} = 0 , Или в сокращенном виде \ Partial_i j ^ i = 0 .


См.. также