Абстрактная алгебра
Абстрактная или высшая алгебра - отрасль математики, сосредоточена на изучении свойств аксиоматически внедренных алгебраических структур. В современной научной литературе называется просто алгебра. Признак "абстрактная" подчеркивает, что объектами изучения являются абстрактные структуры, такие как группы, кольца, поля и модули, в отличие от алгебраических выражений, изучаемых в элементарной "школьной" алгебре.
Абстрактная алгебра сформировалась на протяжении второй половины 19 и первой четверти 20 века и была впервые систематически изложена в монографии "Moderne Algebra" Ван дер Варден ( 1930 г.). Алгебраическая точка зрения вызвала чрезвычайно большое влияние на развитие многих областей математики в 20 веке, в частности теории чисел, топологии, алгебраической геометрии и функционального анализа.
1. Краткий исторический очерк
Примерно до второй половины 19 века в алгебраических исследованиях больше внимания уделялось конкретным объектам, которые изучались методами, специально приспособленными к ситуации, нежели общим концепциям. Приведем следующие примеры:
- кольцо
остатков целых чисел
( Л.Ейлер)
- группа
всех перестановок корней уравнения четвертой степени ( Ж.Лагранжа)
- кольца
полиномов одной переменной с целыми коэффициент и
Гауссовых целых чисел ( К.Гаус).
Но затем на первый план вышли собственно структуры группы, кольца и т.п. Это позволяет рассматривать, например, любую группу подстановок как абстрактную группу, т.е. как множество с операциями, удовлетворяет определенной системе аксиом, и доказывать общие теоремы о группах, которые, в частности, касаются конкретной группы
( Н.Абель, Е.Галуа). Именно внедрение общей аксиоматической точки зрения на алгебраические объекты следует считать началом абстрактной алгебры как независимого дисциплины. Впоследствии были даны аксиоматические определения поля, кольца, векторного пространства, алгебры Ли и т.д. и было начато исследование всех этих структур.
Огромный вклад в развитие абстрактной алгебры в 1890-1930 г.г. сделали Д.Гильберт, Е.Артин и Е.Нетер, применивших аксиоматический метод для изучения коммутативных колец и модулей над ними и получили ряд серьезных результатов. Эти исследования с абстрактной алгебры, с некоторыми предыдущими исследованиями Л.Кронекера, Р.Дедекинда впервые систематически преподнесен в чрезвычайно влиятельной монографии "Современная алгебра" ("Moderne Algebra") Ван дер Варден, первое издание которой появилось в 1930-31 г.г.
Начиная с работ Д.Гильберта по теории интегральных операторов в начале 20 в. и Дж. фон Неймана из колец операторов в 1930 г.г., методы абстрактной алгебры нашли плодотворное применение в анализе, а впоследствии и в других областях математики. Потребности новой физики, прежде всего, квантовой теории, привели как распространение некоторых алгебраических идей вне алгебры, напр. группы, операторов с некоммутативными умножением, т.е. некоммутативных кольца, так и дальнейшее развитие самой алгебры.
В середине 20 века, происходя из идей алгебраической топологии, алгебраические структуры начали розглядадаты с позиций теории категорий (С.Ейленберг-С.Маклейн). Дало возможность изучать не только структуры одного типа, образующих категорию, но и определенные отображения между категориями, так называемые функторы, и, наиболее абстрактно, природные преобразования между функторов. Непревзойденным мастером категорнои алгебры был А.Гротендик, который применил ее для создания основ современной алгебраической геометрии и теории топосов.
Немало исследований в алгебре за последние 40-50 лет относятся к нескольким хорошо устроенных основных отраслей, таких как теория групп, коммутативна алгебра, или теория колец. С новых подразделений абстрактной алгебры отметим алгебраическую комбинаторику, что в настоящее время превратилась в самостоятельную дисциплину, приближенные к топологии теорию операд и гомотопической алгебру, и, наконец, теорию квантовых групп, внедренных В.Дринфельдом, сравнительно новый раздел алгебры, потерпевшего бурного развития в течение последних двух десятилетий.
2. Основные структуры современной алгебры
- Множество
- Группа
- Кольцо
- Модуль над кольцом
- Поле
- Векторное пространство
- Алгебра над кольцом
- Алгебра (кольцо) Ли
Многие алгебраических структур возникают как подклассы вышеперечисленных, которые удовлетворяют дополнительным аксиомам, например, булевы алгебры, коммутативные группы или кольца. Другие, такие как частично упорядоченные множества, решетки, Пуассона алгебры и алгебры Хопфа имеют еще и дополнительные операции. Есть также немало структур, не нашли широкого применения вне алгебры, например перхоти.
3. Подразделения абстрактной алгебры
Теория групп занимается изучением свойств абстрактных групп и их изображений.
Теория колец рассматривает произвольные (некоммутативных) кольца и ассоциативные алгебры.
Линейная алгебра рассматривает линейные пространства и линейные операторы между ними.
Коммутативна алгебра изучает свойства коммутативных колец и модулей над ними. Она имеет плотные связи с алгебраической геометрией и алгебраической теории чисел. В коммутативной алгебры можно отнести теорию полей и теорию Галуа.
Дифференциальная алгебра изучает алгебраические свойства систем диференцийних уравнения.
Гомологичная алгебра изучает категории модулей с помощью комплексов, или дифференциальных градуированных модулей.
Универсальная алгебра, близкой к математической логики, рассматривает произвольные алгебраические структуры, заданные системой аксиом.
Теория категорий предоставляет возможность изучать различные алгебраические концепции и взаимодействие между ними в наиболее абстрактном смысле.
Теория групп широко применим как в математике, например, в геометрии, топологии, гармоническом анализе и теории дифференциальных уравнений, так и за ее пределами, в таких областях как кристаллография, квантовая физика и квантовая химия. Линейная алгебра играет немаловажную роль почти во всех областях математики, а также в математической экономике. Из других разделов абстрактной алгебры, гомологичная алгебра и теория категорий имеют плодотворные связи с алгебраической топологии.
Источники
- ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - С. 623. - Москва: Наука, 1975. ISBN 5-8114-0552-9.
- Ленг С. Алгебра. - С. 564. - Москва: Мир, 1968.