Абстрактная алгебра

Абстрактная или высшая алгебра - отрасль математики, сосредоточена на изучении свойств аксиоматически внедренных алгебраических структур. В современной научной литературе называется просто алгебра. Признак "абстрактная" подчеркивает, что объектами изучения являются абстрактные структуры, такие как группы, кольца, поля и модули, в отличие от алгебраических выражений, изучаемых в элементарной "школьной" алгебре.

Абстрактная алгебра сформировалась на протяжении второй половины 19 и первой четверти 20 века и была впервые систематически изложена в монографии "Moderne Algebra" Ван дер Варден ( 1930 г.). Алгебраическая точка зрения вызвала чрезвычайно большое влияние на развитие многих областей математики в 20 веке, в частности теории чисел, топологии, алгебраической геометрии и функционального анализа.


1. Краткий исторический очерк

Примерно до второй половины 19 века в алгебраических исследованиях больше внимания уделялось конкретным объектам, которые изучались методами, специально приспособленными к ситуации, нежели общим концепциям. Приведем следующие примеры:

Но затем на первый план вышли собственно структуры группы, кольца и т.п. Это позволяет рассматривать, например, любую группу подстановок G <S_n как абстрактную группу, т.е. как множество с операциями, удовлетворяет определенной системе аксиом, и доказывать общие теоремы о группах, которые, в частности, касаются конкретной группы G ( Н.Абель, Е.Галуа). Именно внедрение общей аксиоматической точки зрения на алгебраические объекты следует считать началом абстрактной алгебры как независимого дисциплины. Впоследствии были даны аксиоматические определения поля, кольца, векторного пространства, алгебры Ли и т.д. и было начато исследование всех этих структур.

Огромный вклад в развитие абстрактной алгебры в 1890-1930 г.г. сделали Д.Гильберт, Е.Артин и Е.Нетер, применивших аксиоматический метод для изучения коммутативных колец и модулей над ними и получили ряд серьезных результатов. Эти исследования с абстрактной алгебры, с некоторыми предыдущими исследованиями Л.Кронекера, Р.Дедекинда впервые систематически преподнесен в чрезвычайно влиятельной монографии "Современная алгебра" ("Moderne Algebra") Ван дер Варден, первое издание которой появилось в 1930-31 г.г.

Начиная с работ Д.Гильберта по теории интегральных операторов в начале 20 в. и Дж. фон Неймана из колец операторов в 1930 г.г., методы абстрактной алгебры нашли плодотворное применение в анализе, а впоследствии и в других областях математики. Потребности новой физики, прежде всего, квантовой теории, привели как распространение некоторых алгебраических идей вне алгебры, напр. группы, операторов с некоммутативными умножением, т.е. некоммутативных кольца, так и дальнейшее развитие самой алгебры.

В середине 20 века, происходя из идей алгебраической топологии, алгебраические структуры начали розглядадаты с позиций теории категорий (С.Ейленберг-С.Маклейн). Дало возможность изучать не только структуры одного типа, образующих категорию, но и определенные отображения между категориями, так называемые функторы, и, наиболее абстрактно, природные преобразования между функторов. Непревзойденным мастером категорнои алгебры был А.Гротендик, который применил ее для создания основ современной алгебраической геометрии и теории топосов.

Немало исследований в алгебре за последние 40-50 лет относятся к нескольким хорошо устроенных основных отраслей, таких как теория групп, коммутативна алгебра, или теория колец. С новых подразделений абстрактной алгебры отметим алгебраическую комбинаторику, что в настоящее время превратилась в самостоятельную дисциплину, приближенные к топологии теорию операд и гомотопической алгебру, и, наконец, теорию квантовых групп, внедренных В.Дринфельдом, сравнительно новый раздел алгебры, потерпевшего бурного развития в течение последних двух десятилетий.


2. Основные структуры современной алгебры

Многие алгебраических структур возникают как подклассы вышеперечисленных, которые удовлетворяют дополнительным аксиомам, например, булевы алгебры, коммутативные группы или кольца. Другие, такие как частично упорядоченные множества, решетки, Пуассона алгебры и алгебры Хопфа имеют еще и дополнительные операции. Есть также немало структур, не нашли широкого применения вне алгебры, например перхоти.


3. Подразделения абстрактной алгебры

Теория групп занимается изучением свойств абстрактных групп и их изображений.

Теория колец рассматривает произвольные (некоммутативных) кольца и ассоциативные алгебры.

Линейная алгебра рассматривает линейные пространства и линейные операторы между ними.

Коммутативна алгебра изучает свойства коммутативных колец и модулей над ними. Она имеет плотные связи с алгебраической геометрией и алгебраической теории чисел. В коммутативной алгебры можно отнести теорию полей и теорию Галуа.

Дифференциальная алгебра изучает алгебраические свойства систем диференцийних уравнения.

Гомологичная алгебра изучает категории модулей с помощью комплексов, или дифференциальных градуированных модулей.

Универсальная алгебра, близкой к математической логики, рассматривает произвольные алгебраические структуры, заданные системой аксиом.

Теория категорий предоставляет возможность изучать различные алгебраические концепции и взаимодействие между ними в наиболее абстрактном смысле.

Теория групп широко применим как в математике, например, в геометрии, топологии, гармоническом анализе и теории дифференциальных уравнений, так и за ее пределами, в таких областях как кристаллография, квантовая физика и квантовая химия. Линейная алгебра играет немаловажную роль почти во всех областях математики, а также в математической экономике. Из других разделов абстрактной алгебры, гомологичная алгебра и теория категорий имеют плодотворные связи с алгебраической топологии.


Источники