Алгебраическая топология

Алгебраическая топология (устаревшее название: "комбинаторная топология") - раздел топологии, изучающий топологические пространства путем сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.


1. Основная идея

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что алгебраические структуры устроены проще, чем топологические.

Кроме различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмив или K -Теория) для алгебраической топологии важные гомотопические группы \ Pi_n (X) . Из них главной является \ Pi_1 (X) - Так называемая фундаментальная группа, в отличие от групп всех других размерностей которые могут быть неабелевимы.


2. Теорема Брауэра (пример)

В качестве примера применения методов алгебраической топологии можно привести доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь D_n означает замкнутая n -Мерная шар, S_ {N-1} - Ее (N-1) -Мерная граница (сфера):

Любое непрерывное отображение fn -Мерной шара D_n у себя имеет неподвижную точку, т.е. такую ​​точку x , Что f (x) = x

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения gn -Мерной шара D_n на свою границу S_ {n-1} такого, что g (x) = x для всех точек границы (что называется ретракция)

Действительно, если в отражении f Есть неподвижных точек, то мы можем построить отображение g шара на сферу проведя для каждой точки шара x луч, исходящий из f (x) и проходит через x (В случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой S_ {n-1} обозначим через y и положим g (x) = y . Ясно, что полученное отображение является непрерывным, и если x принадлежит сфере, то g (x) = x . Мы получили ретракция шара на сферу, за леммой невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь самая большая сложность заключается в доказаны леммы. Пусть существует такая ретракция g . Обозначим i - Вложения сферы в шар i (x) = x . Имеем:

произведение отображений gi = \ mathrm {id} - Тождественное отображение сферы (сначала i , Затем g ). Одним из главных инструментов алгебраической топологии являются так называемые группы гомологии (например, симплициальни или сингулярные). Каждому топологическом пространства X отвечает в каждой размерности n своя абелева группа гомологии H_n (X) , А каждому непрерывном отражению f: X \ to Y соответствует гомоморфизм групп f_ *: H_n (X) \ to H_n (Y) , Причем произведения отображений fg соответствует произведение гомоморфизм f_ * g_ * , А тождественному отображению \ Mathrm {id} соответствует тождественный изоморфизм \ Mathrm {id} _ * . (На языке теории категорий это означает, что группа гомологии есть ковариантный функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).

Теперь возвращаемся к нашей леммы. Легко доказать, что H_ {n-1} (S_ {n-1}) = \ mathbf {Z} , А H_ {n-1} (D_n) = 0 . Тогда отображение g_ *: H_ {n-1} (D_n) \ to H_ {n-1} (S_ {n-1}) будет отражением в 0 но, с другой стороны, поскольку gi = \ mathrm {id} , Имеем g_ * i_ * = \ mathrm {id} _ *: \ mathbf {Z} \ to \ mathbf {Z} - Есть не нулевым гомоморфизмом, изоморфизма, а тождественным. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, есть и неалгебраични доказательство теоремы Брауэра, но введение гомологии сразу позволило легко доказать множество утверждений, которые раньше казались несвязанными друг с другом.


3. История

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны еще Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многоранника с числом вершин V , Ребер E и граней F имеет место V-E + F = 2 .

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создании алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре - именно ему принадлежат понятия симплициальнои гомологии и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александр, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Ейленберг, Серр, Том, Атия, Хирцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Милнор, Квиллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягин, Люстерник, Рохлин, Новиков, Фоменко, Концевич, Воеводский, Перельман.


Литература

  • Hatcher A. Algebraic Topology
  • Васильев В. А. Введение в топологии. - М.: фазис, 1997
  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологии. - М.: МЦНМО, 2005
  • Прои Я., Иванов А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. - М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. - М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. - М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. - Ижевск: РХД, 2001
  • Коснёвскы Ч. Начальный курс алгебраической топологии. - М.: Мир, 1983
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. - М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. - 2 изд., Испр. и доп. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. - М.: МЦНМО, 2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология - гомотопиы и гомология. - М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. - М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. - М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. - М.: Наука, 1989

См.. также