Надо Знать

добавить знаний



Атом водорода



План:


Введение

Эта статья посвящена энергетическому спектру атома водорода. Если вас интересуют другие свойства химического элемента, смотрите статью водород.
Протон окружен электронной облаком

Атом водорода - простейший из атомов химических элементов.

Он состоит из положительно заряженного ядра, которое для основного изотопа просто протоном, и одного электрона.

Квантовомеханическая задача о разрешенных энергетические состояния атома водорода решается точно. Учитывая это обстоятельство, волновые функции, полученные как собственные функции этой задачи, являются базовыми для рассмотрения остальных элементов периодической таблицы. Именно поэтому атом водорода имеет большое значение для физики и химии.


1. Гамильтониан

В состав атома водорода входит ядро ​​с массой M и зарядом + e и электрон с зарядом-e. Взаимодействие между ними - кулоновское притяжение.

Гамильтониан атома водорода имеет вид [1]

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2M} \ nabla_R ^ 2 - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla_r ^ 2 - \ frac {e ^ 2} {| \ mathbf {R} - \ mathbf {r} |} ,

где \ Mathbf {R} - радиус-вектор ядра, а \ Mathbf {r} - Радиус-вектор электрона.

При переходе к системе координат, связанной с центром масс, гамильтониан разбивается на два независимых слагаемых.

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2M_C} \ nabla_ {R_C} ^ 2 + \ frac {\ hbar ^ 2} {2 \ mu} \ nabla_ \ rho ^ 2 - \ frac {e ^ 2} {\ rho} ,

где M_c = M + m - Суммарная масса электрона и ядра, \ Mu = \ frac {Mm} {M + m} - Приведенная масса электрона, \ Mathbf {R} _C - Радиус-вектор центра масс, \ Mathbf {\ rho} = \ mathbf {r} - \ mathbf {R} - Вектор, соединяющий ядро ​​с электроном.

Первый член в гамильтониан описывает поступательное движение атома водорода, как целого. В дальнейшем его рассматривать.

В сферической системе координат гамильтониан относительного движения электрона вокруг ядра записывается в виде:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2 \ mu} \ frac {1} {\ rho ^ 2} \ frac {\ partial} {\ partial \ rho} \ left (\ rho ^ 2 \ frac {\ partial} {\ partial \ rho} \ right) - \ frac {\ hat {L} ^ 2} {2 \ mu \ rho ^ 2} - \ frac {e ^ 2} {\ rho} ,

где \ Hat {L} ^ 2 - оператор квадрата углового момента.

Гамильтониан коммутирует с оператором квадрата углового момента, а потому имеет общие с ним собственные функции.


2. Собственные функции и разрешены значения энергии

Трехмерная визуализация атомных орбиталей

Собственные функции гамильтониана имеют вид:

\ Psi_ {nlm} = \ tilde {\ rho} ^ le ^ {- \ tilde {\ rho} / 2} L_ {n + l} ^ {2l +1} (\ tilde {\ rho}) Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) ,

где \ Tilde {\ rho} = \ frac {2 \ rho} {na_0} , a_0 - радиус Бора, L_i ^ j - полиномы Лагерра, Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) - сферические гармоники.

Функции характеризуются тремя целыми квантовыми числами

  • n = 1,2,3 ... - основное квантовое число.
  • l = 0 .. n-1 - орбитальное квантовое число.
  • m =-l .. l - магнитное квантовое число.

Кроме того, электронные волновые функции характеризуются еще одним квантовым числом - спином, который появляется при учете релятивистских эффектов. Спиновое квантовое число принимает значение s_z = \ pm 1/2 .

Собственные значения гамильтониана равны

E_n = - R \ frac {1} {n ^ 2} ,

где R = \ frac {\ mu \ alpha ^ 2} {2 \ hbar ^ 2} = \ approx 13.6эВ - константа (α - постоянная тонкой структуры).


Собственные значения гамильтониана соответствуют возможным значения энергии атома водорода. Они зависят только от основного квантового числа n. Каждый из энергетических уровней атома водорода, кроме первого, вырожденный. Одному значений энергии соответствует n 2 возможных функций, с учетом спина 2n 2. [2]


3. Волновая функция основного состояния

В основном состоянии волновая функция атома водорода имеет вид:

\ Psi_ {1s} = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} \ left (\ frac {Z} {a_0} \ right) ^ {3/2} e ^ {-Z \ rho/a_0} ,

где Z = 1 - зарядовое число для ядра атома водорода.

4. Непрерывный спектр

Кроме дискретных уровней с отрицательной энергией атом воню имеет бесконечное число состояний с добавить энергии, в которых волновые функции нелокализованных. Эти состояния соответствуют йонизованому атома.

5. Оптические переходы

Спектральные линии атома водорода

Согласно положениям квантовой механики (см. Золотое правило Ферми) при излучении или поглощении света квантовомеханической системой должен выполняться закон сохранения энергии. Например, при излучении кванта света, энергия атома водорода изменяется на величину \ Hbar \ omega , Где ω - циклическая частота света. Но энергия атома водорода может иметь только конкретные значения, определенные выше. Таким образом, атом водорода в низком основном состоянии не может излучать свет, потому что не может уменьшить своей энергии. Если атом водорода находится на первом возбужденном состоянии, то при излучении он может перейти только в основное состояние. При этом энергия излученного фотона равна разности E_1 - E_0 . И так далее, атом во втором возбужденном состоянии может перейти только в основновний состояние и первый возбужденный и т.д..

При поглощении света атомом водорода происходят похожие процессы. Атом в основном состоянии имеет энергию E_0 и может перейти в состояния с энергией E_n . При этом поглощаются исключительно только те фононы, которые имеют энергии \ Hbar \ omega = E_n - E_0 .

Таким образом спектр поглощения и спектр излучения атома водорода состоит из серии тонких линий, сгущаются до определенной частоты, а на высоких частотах переходит в непрерывный, поскольку высокоэнергетические возбуждения соответствуют ионизации атома, при которой электрон отрывается от ядра, может иметь произвольную энергию.

Линейчатый спектр атома водорода состоит из линий поглощения с частотой, которая задается формулой

\ Hbar \ omega = R \ left (\ frac {1} {m ^ 2} - \ frac {1} {n ^ 2} \ right) ,

где m и n> m - целые числа, m-главное квантовое число. В спектре выделяют


6. Тонкая структура

Тонкая структура уровней с n = 2. Слева - нерасщепленный уровень, который возникает в нерелятивистской теории

Приведенный расчет энергетического спектра атома водорода основан на уравнении Шредингера, которое имеет тот недостаток, что оно не является Лоренц-инвариантным, а, следовательно, не согласуется с теорией относительности. Релятивистским аналогом уравнения Шредингера является уравнения Дирака. Существенное отличие уравнения Дирака от уравнения Шредингера в том, что уравнение Дирака вводит понятие спина. Таким образом, кроме приведенных выше квантовых чисел n, l, m, атом водорода характеризуется еще и спином. Количественные поправки, которые вносит в энергетический спектр атома водорода релятивистский рассмотрение, небольшие, так как средняя скорость электрона в атоме водорода мала по сравнению с скоростью света. Однако, есть существенное качественное отличие в оптических спектрах. Тщательное изучение оптических спектров показало, что линии спектра расщепляются на небольшие серии. Это расщепление получило название тонкой структуры.

Как известно, при учете спина, собственные состояния квантовомеханических систем лучше характеризовать не орбитальным квантовым числом l, а квантовым числом полного момента j. Энергия собственных состояний атома водорода примерно равен

E_ {n, j} = - \ frac {R} {n ^ 2} \ left (1 + \ frac {\ alpha ^ 2} {n (j +1 / 2)} - \ frac {3 \ alpha ^ 2 } {4n ^ 2} + \ dots \ right) ,

где \ Alpha = e ^ 2 / \ hbar c - Универсальная постоянная, которая получила название постоянной тонкой структуры. Постоянная тонкой структуры \ Approx 1/137 малая величина, а следовательно релятивистские поправки, которую пропорциональны постоянной тонкой структуры в квадрате, очень маленькие. Однако, энергетические уровни с определенным n расщепляются на несколько уровней с различными j. Каждый такой уровень все еще 2 (2j +1) раз вырожденный.

Например, основное состояние имеет l = 0, j = s = 1/2. Это состояние обозначается 1S 1/2 [3]. Он двукратно вырожденный и два возможных состояния соответствуют различным проекциям спина s_z = \ pm 1/2 .

Первый возбужденное состояние расщепляется на два:

  • Состояние 2P 3/2, для которого j = 3/2, l = 1. Это состояние четырехкратный вырожденный.
  • Состояния 2S 1/2 (j = 1/2, l = 0) и 2P 1/2 (j = 1/2, l = 1), каждый из которых тоже двукратно вырожденный.

7. Лэмб смещение

Приведенный выше описание оптических переходов в атоме водорода не учитывал квантовой природы света. При квантовомеханической рассмотрении фотоны описываются уравнениями, аналогичными уравнению квантового гармонического осциллятора. Важным физическим следствием квантового рассмотрения света является существование нулевых колебаний даже в том случае, когда количество фотонов равно нулю. Взаимодействие квантовомеханических систем с нулевыми колебаниями приводит к спонтанного излучения, в небольшой смещения положения энергетических уровней и является причиной того, что линии спектра не бесконечно тонкими.

Для атома водорода это имеет следующие последствия:

  • Атом не может существовать бесконечно долго в возбужденном состоянии. Рано или поздно происходит спонтанный переход к основному состоянию с излучением фотона.
  • Каждая спектральная линия естественно уширена.
  • Уровне атома водорода несколько смешиваются со своих положений. Этот сдвиг, получивший название Лембового, различен для разных сословий. Так, например, даже с учетом тонкого расщепления уровне 2S 1/2 и 2P 1/2 имеют одинаковую энергию. Однако, учет взаимодействия с нулевыми колебаниями электромагнитного поля приводит к очень малого расщепления. Величина расщепления равна 1057,77 (1) МГц. Таким образом, возбужденный в состояния с главным квантовым числом n = 2 атом водорода поглощает радиочастотное излучение благодаря переходам между 2S 1/2 и 2P 1/2 уровнями.

8. Атом водорода в магнитном поле

Во внешней магнитном поле вырожденные энергетические уровни с различными магнитными квантовыми числами m расщепляются. Это расщепление пропорционально приложенной полю. Соответственно расщепляются линии в спектрах излучения и поглощения.

Подробные сведения по этой теме можно найти в статье эффект Зеемана.

9. Атом водорода в электрическом поле

Атом водорода - единственная квантовомеханическая система, в которой в слабых электрических полях наблюдается линейный эффект Штарка, то есть спектральные термы расщепляются на компоненты, и величина расщепления пропорциональна электрическому полю. Этот факт обусловлен вырождением линий с разным значением орбитального квантового числа l. Внешнее электрическое поле частично снимает такое вырождение.

Подробные сведения по этой теме можно найти в статье эффект Штарка.


10. Воднеподибни серии уровней

Воднеподибни серии уровней возникают в других задачах квантовой механики. Среди них:

  • Изотопы водорода: дейтерий и тритий имеют энергетические спектры, которые отличаются от спектра водорода только значением сводной массы. Тщательное изучение оптических переходов позволяет проверить справедливость основных формул.
  • Йон гелия He + и ион лития Li 2 +. Эти ионы имеют один электрон, но больший заряд ядра. Изучая оптические спектры этих ионов можно проверить залаженисть положение энергетических уровней от величины заряда.
  • Связанные с протоном мюоны. Мюоны общем похожи на электроны, но имеют гораздо большую массу. Связавшись с протонами они образуют воднеподибни атомы.
  • Воднеподибни примесные уровни в полупроводниках. Доноры и акцепторы в полупроводниках имеют заряд, который отличается на одииницю от заряда соседних атомов. Однако благодаря большому значению диэлектрической проницаемости, электроны или дырки слабо привлекаются к этих атомов. Радиусы электронных орбит в полупроводниках целом простираются на десятки периодов кристаллической решетки.
  • Экситоны Ванье-Мотта - связаны состояния электрона и дырки в полупроводниках. Имеют воднеподибну серию энергетических состояний.

Примечания

  1. Формулы на этой странице записаны в системе СГС (СГСГ). Для превращения в систему СИ смотри Правила перевода формул системы СГС в систему СИ.
  2. Это вырождение является характерной особенностью атома водорода. Для других атомов уровни энергии зависят как от основного кватового числа n, так и от орбитального квантового числа l. Остается только вырождение относительно магнитного квантового числа m и спина. Это вырождение снимается внешним магнитным полем.
  3. О том, как отражаются состояния см.. статью Электронные термы атомов

Источники

  • Белый М. В., Охрименко Б. А. Атомная физика. - К. : Знание, 2009. - 559 с.
  • Юхновский И. Г. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2008. - Т. 3. - 800 с.

См.. также

Хорошая статья

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам