Вектор (математика)

Геометрический вектор - в физике и математике - величина, которая характеризуется числом и направлением. В физике существует немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, угловой момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, их называют "Скалярами".

Графически векторы изображают в виде направленных отрезков определенной длины . Например, для графического представления силы величиной два Ньютоны надо нарисовать отрезок прямой длиной две единицы в направлении действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от точки A до точки B; бы сила действовала от B до A, то надо было бы записать . Численное значение вектора называется модулем или длиной и обозначается | |. Эта величина - скаляр. Два параллельных векторы, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , То противоположный ему вектор обозначается через . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается .

Два вектора называются равными, если они одной длины и их направления совпадают. В механике этим определением надо пользоваться с осторожностью, поскольку две равные силы, приложенные к разным точкам тела могут приводить к разным результатам.

Многие алгебраических действий имеют свои аналоги и для векторов: векторы можно складывать, вычитать, умножать и делить. Для этих операций действуют многие правилам алгебры, как, например, коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность (вычитание трактуется как особый случай добавления). Сумму двух векторов с одинаковым началом можно найти геометрически с помощью правила параллелограмма.

Вектор тензором первого ранга.

1. Понятие вектора

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика В. Гамильтона, затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике это понятие играет очень важную роль.

2. Свойства векторов

2.1. Ортогональность

Векторы являются ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Иногда вместо этого срока используют "перпендикулярность", однако следует учитывать, что нулевой вектор ортогональный любом вектору, но понятие перпендекулярности для него не определено, поскольку не определен угол между нулевым и другим вектором.

2.2. Коллинеарность

Векторы есть коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Часто вместо этого срока используют термин "параллельность", однако следует учитывать, что нулевой вектор коллинеарний любом вектору, но понятие параллельности для него не определено, поскольку не определен угол между нулевым и другим вектором.

2.3. Равенство векторов

Пусть i - Два вектора плоскости (или пространства). Говорят, что вектор | | Равна вектору , И записывают = , Если:
1) длина отрезка AB равна длине отрезка CD;
2) лучи AB i CD одинаково направлены.

2.4. Свойства добавление векторов

1) свойство нулевого вектора :
a +0 = a;
2) ассоциативность добавления:
(A + b) + c = a + (b + c)
3) коммутативность добавления:
a + b = b + a;

2.5. Свойства умножения вектора на число

1) коммутативности:
λa = aλ;

2) ассоциативность:
λ (μa) = (λμ) a;

3) дистрибутивность относительно добавление векторов:
λ (a + b) = λa + λb;
4) дистрибутивность относительно сложения чисел:
(Μ + λ) a = μa + λa;

3. Применение

Векторы применяются в классической механике Галилея - Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

См.. также

В Википедии есть портал "Математика"

• Действия над векторами
• Векторное пространство
• Двумерный вектор
• Трехмерный вектор
• Многомерный вектор
• Нулевой вектор
• Единичный вектор
• вектор относительного перемещения
• вектор сдвига
• псевдовектор