Вероятность

План:

1 Определение
2 Определение терминов
3 Свойства
4 История
5 Пример

Введение

Вероятность ( лат. probabilitas , англ. probability ) - Числовая характеристика возможности того, что случайное событие пройдет в условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. Вероятность является основным понятием раздела математики, который называется теория вероятностей.

Случайным событием называется событие, результат которого не может быть известен заранее. Даже в том случае, когда в действительности событие детерминировано своими предпосылками, влияние этих предпосылок может быть настолько сложным, что вывести из них следствие логично и последовательно, невозможно. Например, при пидкидуванни монеты, сторона на которой монета упадет определяется положением руки и монеты в руке, скоростью, крутящим моментом и т.д., однако отследить все эти факторы невозможно, поэтому результат можно считать случайным.

Существуют два подхода к определению вероятности: математико-аксиоматический и Байеса. Аксиоматический подход, строго сформулирован Колмогоровым, строится на предположении, что вероятности элементарных случайных событий заданы, и сосредоточивается на определении вероятностей сложных событий, является совокупностью элементарных. Так, например, при пидкидуванни шестигранного кубика игральной кости, вероятности выпадения любого числа, считаются одинаковыми и равными 1/6. Исходя из этой аксиомы, теория вероятности может рассчитать вероятность того, что сумма чисел на двух костях будет, например, 8.

Байеса подход не делает предположений о вероятности элементарных событий, а пытается получить их из анализа предыдущего опыта, опираясь на теорему Байеса и на предыдущие гипотезы. Байеса подход ближе к тому, как определяются имовирости случайных событий в естествознании. Поскольку эти вероятности заранее неизвестны, результаты серии опытов разбиваются на благоприятные и неблагоприятные, и экспериментально определена вероятность равна отношению числа благоприятных событий к числу опытов, т.е. частоте событий.

В дальнейшем в этой статье используется аксиоматический математический подход.

1. Определение

Пусть Ω = {ω _1, ω _2,..., ω _n} - пространство элементарных событий. Предположим, что каждому элементарной события ω _k можно поставить в соответствие неотрицательное число p _k (вероятность события ω _k), причем $\ Sum_ {k = 1} ^ n p_k = 1$ .

Если $A \,$ - случайное событие и $A \ subset \ Omega$ , То

$p (A) = \ sum_ {\ omega_k \ in A} p_k$ ,

где $p (A) \,$ называется вероятностью события $A \,$ .

2. Определение терминов

Условная вероятность - Вероятность события B, рассчитанная в предположении, что событие А уже произошло
Несовместимые события - две случайные события, если они не могут произойти одновременно. Если события А и В несовместны, то $A \ cap B = \ empty$
Полная группа событий - система случайных событий такая, что в результате проведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

3. Свойства

Вероятность достоверного события равна 1.
Вероятность невозможного события равна 0.
Вероятность случайной величины является положительным числом, что находится между нулем и единицей

$0 \ le P (A) \ le 1$

3.1. Теорема сложения вероятностей

Вероятность появления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий

$P (A \ cup B) = P (A) + P (B)$ , Если А и В несовместимы (аддитивность)

Сумма вероятностей событий Ω = {ω _1, ω _2,..., ω _n}, составляющих полную группу (совокупность единственно возможных событий), равен единице

$P (\ Omega) = 1 \,$ .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Противоположным называют две единственно возможные события, которые составляют полную группу

$P (A) + P (\ bar {A}) = 1$

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

$P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (AB) \,$

Принцип практической невозможности маловероятным событий: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании событие не наступит. Данный принцип используется при решении практических задач. Достаточно малую вероятность, при которой (в конкретной задачи) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости.

3.2. Теорема произведению вероятностей

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

$P (AB) = P (A) P (B) \,$

Вероятность совокупной появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей данных событий

$P (A_1A_2. .. A_n) = P (A_1) P (A_2) ... P (A_n) \,$

Вероятность появления хотя бы одного из событий , Независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий $\ Bar {A_1} \ bar {A_2} ... \ bar {A_n}$

$P (A) = 1 - q_1q_2 ... q_n \,$

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

$P (AB) = P (A) P_A (B) \,$

3.3. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B_1, B_2 ..., B_n , Образующих полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности $P_ {B_1} (A), P_ {B_2} (A), ..., P_ {B_n} (A)$ события А.

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B_1, B_2 ..., B_n , Образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

$P (A) = P (B_1) P_ {B_1} (A) + P (B_2) P_ {B_2} (A) + ... + P (B_n) P_ {B_n} (A)$

3.4. Теорема Байеса

Теорема Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилась событие А.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B_1, B_2 ..., B_n , Образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности.

$P (A) = P (B_1) P_ {B_1} (A) + P (B_2) P_ {B_2} (A) + ... + P (B_n) P_ {B_n} (A)$

Предположим, что проведены испытания, в результате которого появилась событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности P_A (B_1), P_A (B_2), ..., P_A (B_n)

Найдем сначала условную вероятность P_A (B_1) . По теореме умножения имеем

$P (AB_1) = P (A) * P_A (B_1) = P (B_1) * P_ {B_1} (A)$

Отсюда

$P_A (B_1) = \ tfrac {P (B_1) * P_ {B_1} (A)} {P (A)}$

Раскрывая P (A) по формуле полной вероятности, получим:

$P_A (B_1) = \ tfrac {P (B_1) * P_ {B_1} (A)} {P (B_1) * P_ {B_1} (A) + P (B_2) * P_ {B_2} (A) + .. . + P (B_n) * P_ {B_n} (A)}$

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности других гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Ви (i = 1, 2, ..., n) может быть вычислена по формуле

$P_A (B_i) = \ tfrac {P (B_i) * P_ {B_i} (A)} {P (B_1) * P_ {B_1} (A) + P (B_2) * P_ {B_2} (A) + .. . + P (B_n) * P_ {B_n} (A)}$

4. История

Игральные кости.

Исторически изучение вероятности начиналось с изучения стратегий для азартных игр. Научный подход к изучению начинался с работ Джироламо Кардано, Пьера Ферма, Блеза Паскаля (1654), Христиана Гюйгенса (1657), Якоба Бернулли (1713), Абрахама де Муавра (1718), Томаса Байеса ( теорема Байеса) и другие.

В дальнейшем теория вероятности развивалась для нужд оценки погрешностей измерений в физических экспериментах. Пьер-Симон Лаплас (1774) первым попытался применить законы вероятности для результатов измерений. Даниэль Бернулли (1778) применил теорию вероятностей в экономике для оценки рисков. Адриен-Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов для нахождения наилучшего приближенного решения избыточно-урочной системы. Карл Фридрих Гаусс в 1809 доказал закон о нормальное распределение погрешностей измерений.

Также теория вероятности развивалась для нужд статистической физики : Джеймс Максвелл, Людвиг Больцман, Альберт Эйнштейн и др..

Андрей Марков ввел понятие цепей Маркова для стохастических процессов (1906).

Современная теория вероятностей, которая базируется на теории меры, была разработана Андреем Колмогоровым в 1931 году.

5. Пример

Пусть подбрасывают симметричный шестигранной кубик с нанесенными на гранях цифрами от 1 до 6. Тогда как пространство элементарных событий Ω естественно рассмотреть множество выпадения возможных цифр Ω = {1,2,3,4,5,6}. Если кубик симметричен, то каждая элементарное событие ω _и = _и является равновозможными, поэтому припишем ей вероятность 1/6. Тем образом построена вероятностная модель эксперимента, который заключается в подбрасывании шестигранного симметричного игрального кубика. Если А - случайное событие, которое заключается в том, что число очков, выпавшее, кратное трем, т.е. А = {3,6}, то Р (А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

См.. также

Литература

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей 2. - С. 119. - Москва: Наука, 1974.
В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Издание четвертое, дополненное. М. 1972