Волновая функция

План:

1 Интерпретация
2 Значения физических величин
3 Вектор состояния
4 Свойства
- 4.1 Волновая функция системы многих частиц

Введение

Волновая функция, или пси-функция $\ Psi \,$ - Комплекснозначных функция, используемая в квантовой механике для описания состояния квантовомеханической системы. Есть коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатном):

$\ Left | \ psi (t) \ right \ rangle = \ int \ Psi (x, t) \ left | x \ right \ rangle dx$

где $\ Left | x \ right \ rangle = \ left | x_1, x_2, \ ldots, x_n \ right \ rangle$ - Координатный базисный вектор, а $\ Psi (x, t) = \ langle x \ left | \ psi (t) \ right \ rangle$ - Волновая функция в координатном представлении.

Описание квантовой системы с помощью функции, которая бы описывала ее волновые свойства предложил Эрвин Шредингер.

1. Интерпретация

Макс Борн предложил интерпретировать волновую функцию, как амплитуду вероятности. В этой интерпретации квадрат модуля волновой функции соответствует плотности вероятности положения частицы. Таким образом, вероятность того, что частица находится в области пространства W в момент времени t определяется как

$\ Operatorname {P} (W) = \ int \ limits_W | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ 2 dW. \ Quad$

где

$| \ Psi (x) | ^ 2 = \ psi ^ * (x) \ psi (x) \ quad$ , А $\ Psi ^ * (x) \ quad$ - Функция, комплексно сопряженная с $\ Psi (x) \ quad$

При интегрировании по всему пространству это выражение, как вероятность вполне определенного события, должен давать единицу:

$\ Int \ limits_ {\ infty} | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ 2 dV = 1. \ Quad$

Это условие называется условия нормировки пси-функции.

2. Значения физических величин

Физическая величина, которая может определяться в эксперименте, в квантовой механике задается определенным эрмитовых операторов. Зная волновую функцию можно определить среднее значение такой величины с помощью правила

$\ Langle A \ rangle = \ int \ psi ^ * \ hat {A} \ psi dV$ ,

где $\ Hat {A}$ - Это квантовомеханический оператор.

3. Вектор состояния

Для описания элементарных частиц, которые могут иметь отличный от нуля спин, однокомпонентной, скалярной, волновой функции недостаточно. Движение таких частиц задается совокупностью из нескольких волновых функции, которая имеет широкую название: вектор состояния.

$\ Psi = \ left (\ begin {matrix} \ psi_1 \ \ \ vdots \ \ \ psi_N \ end {matrix} \ right)$ .

Например, электрон со спином 1/2 описывается совокупностью четырех волновых функций.

Несмотря на слово "вектор", вектор состояния не является настоящим вектором в пространстве. Здесь этот термин употребляется скорее в смысле вектора линейной алгебры. По пространственных свойств, то при вращении системы координат, вектор состояния в целом может иметь особые свойства. Например, вектор состояния для электрона является Спинор.

Обычно совокупность нескольких волновых функций, входящих в состав вектора состояния, тоже называют волновой функцией.

4. Свойства

Волновая функция обозначена с точностью до произвольного множителя в форме $e ^ {i \ alpha}$ , Где $\ Alpha$ - Любое действительное число. Подстановка функции

$\ Psi ^ \ prime = e ^ {i \ alpha} \ psi$

не меняет средних значений наблюдаемых физических величин.

4.1. Волновая функция системы многих частиц

Волновая функция квантовой системы, состоящей из нескольких частиц, зависит от координат всех частиц. Например, для двух частиц $\ Psi (\ mathbf {r} _1, \ mathbf {r} _2, t)$ . При определении средних значений наблюдаемых величин интегрирования проводится во всем конфигурацийноми пространстве. Например, для двух частиц

$\ Langle A (t) \ rangle = \ int \ psi ^ * (\ mathbf {r} _1, \ mathbf {r} _2, t) \ hat {A} \ psi (\ mathbf {r} _1, \ mathbf { r} _2, t) dV_1 dV_2$ ,

В случае тождества частиц, на волновую функцию накладывается дополнительное условие, связанное с инвариантностью относительно перестановок этих частиц, согласно принципу нерозризнюваности. Квантовые частицы делятся на два класса - фермионы и бозоны. Для фермионов

$\ Psi (\ mathbf {r} _1, \ mathbf {r} _2, t) = - \ psi (\ mathbf {r} _2, \ mathbf {r} _1, t)$ ,

есть волновая функция меняет знак при перестановке частиц. Такое Свойство называют антисимметричной по перестановок. Для бозонов

$\ Psi (\ mathbf {r} _1, \ mathbf {r} _2, t) = \ psi (\ mathbf {r} _2, \ mathbf {r} _1, t)$ ,

т.е. при перестановке частиц волновая функция остается неизменной. Такую функцию называют симметричной относительно перестановок.

См.. также

В Википедии есть портал

"Математика"

Источники

Белый М. В., Охрименко Б. А. Атомная физика. - К. : Знание, 2009. - 559 с.
Федорченко А. М. Квантовая механика, термодинамика и статистическая физика / / Теоретическая физика. - К. : Высшая школа, 1993. - Т. 2. - 415 с.
Юхновский И. Г. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.

Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.