Гильбертово пространство

Гильбертово пространство (в честь Давида Гильберта) - это обобщение понятия евклидова пространства на бесконечномерный случай. Есть линейным пространством над полем действительных или комплексных чисел ( предлог "над" означает, что в таком пространстве разрешены операции умножения на скаляры из соответствующих полей), с определенным скалярным произведением. Последний позволяет вводить понятие, аналогичные привычным понятием ортогональности и угла.


1. Определение

Гильбертовым пространством называется [1] [2] векторное пространство H над полем действительных или комплексных чисел вместе со скалярным произведением - функцией от двух переменных (\ Cdot, \ cdot): H \ times H \ to \ mathbb {R} (Или \ Mathbb {C} , В случае использования поля комплексных чисел), что удовлетворяет следующим условиям:

  1. (X, x) \ geq0 для каждого x \ in H
  2. (X, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0
  3. (X + y, z) = (x, z) + (y, z) для произвольных трех x, y, z \ in H
  4. (\ Alpha x, y) = \ alpha (x, y) , Где x, y \ in H , \ Alpha - Элемент скалярного поля. ( \ Mathbb R или \ Mathbb C )
  5. (X, y) = \ overline {(y, x)} \ x, y \ in H
  6. Для произвольной последовательности x_n \ in H, \ n = 1,2, \ ldots, , Для которой выполнено
lim_ {l, k \ to \ infty} (x_l-x_k, x_l-x_k) = 0 ,
найдется элемент x \ in H , Что для него
lim_ {n \ to \ infty} (x_n-x, x_n-x) = 0 .
Тогда говорят, что x является границей последовательности x_n .

Приведенное выше определение одинаково применимо как для случая пространства над вещественными числами, так и над комплексными, довольно сказать, что в первом случае в условии 5 имеем просто симметричность скалярного произведения: (X, y) = (y, x) .

Иногда также требуется, чтобы для размерности пространства выполнялось dim H = \ infty , Хотя, очевидно, евклидовы (Конечномерные) пространства можно рассматривать как Гильбертовы беж никаких дополнительных оговорок.

Следует отметить, что условие 6 означает полноту пространства относительно нормы, заданной, как \ | X \ | = \ sqrt (x, x) (То, что приведенная функция действительно является нормой, следует из указанных выше свойств скалярного произведения) учитывая линейность, имеем, что каждый гильбертово пространство является одновременно банаховых пространствах (т.е. полным нормированным векторным пространством) с нормой \ | X \ | = \ sqrt (x, x) .

Гильбертово пространство является обобщением для случая бесконечной размерности как евклидова пространства \ R ^ n так и эрмитовых пространства \ C ^ n.

Передгильбертив пространство - векторное пространство со скалярным произведением (условия 1 - 5). Условия полноты пространства 6 нет, поэтому он, в общем, не является банахово.

Линейное отображение \ L: H_1 \ to H_2 между двумя (комплексными) гильбертовом пространстве называется изометрией, если воне сохраняет (эрмитовых) скалярное произведение, т.е. для любых векторов u, v \ in H_1, выполняется равенство (L (u), L (v)) = (u, v). С помощью тождества параллелограмма,

\ | X + y \ | ^ 2 + \ | x-y \ | ^ 2 = 2 (\ | x \ | ^ 2 + \ | y \ | ^ 2)

(Следует из свойств скалярного произведения и определения нормы в гильбертовом пространстве; x, y \ in H - Произвольные) доказывается, что L является изометрией тогда и только тогда, когда оно сохраняет норму, т.е. \ | L (v) \ | = \ | v \ | для любого v \ in H_1. Изометрия между двумя гильбертовом пространстве, что является биекции, называется изоморфизмом гильбертовых пространств.


2. Примеры

1. Пространство l ^ 2, состоящий из суммируемых последовательностей комплексных чисел - то есть, последовательностей, для которых

\ Mathbf {x} = (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ ldots), \ quad \ | \ mathbf {x} \ | ^ 2 = \ sum_ {n \ geq 1} | x_n | ^ 2 <\ infty ,

с эрмитовым скалярным произведением

(\ Mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ sum_ {n \ geq 1} x_n \ overline {y_n}

является комплексным гильбертовом пространстве. Если ограничиться только последовательностями с действительными членами, то получим настоящий гильбертово пространство. То, что (\ Mathbf {x}, \ mathbf {y}) <\ infty, есть ряд сходится - это неочевидный факт, что требует доказательства. Сходимость ряда вытекает из неравенства Коши-Буняковского, примененной к первым n членов последовательностей \ Mathbf {x} и \ Mathbf {y}. Итак, получаем, что

| (\ Mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ leq \ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |.

В курсе функционального анализа приходится также, что пространство l ^ 2 - Полный и, таким образом, удовлетворяет всем аксиомам гильбертовом пространства.

2. Гильбертово пространство L ^ 2 [- \ pi, \ pi] квадратично-интегрированных по Лебегу функций на отрезке [- \ Pi, \ pi] образуется из линейного пространства непрерывных комплекснозначных функций на этом отрезке по операции пополнения. Приведем лишь определение эрмитовых скалярного произведения на L ^ 2 [- \ pi, \ pi]

(F, g) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ overline {g (x)} dx.

3. Ортонормального базисы: координаты в гильбертовом пространстве

В любом гильбертовом пространстве H можно ввести систему координат, обобщают декартовы координаты на плоскости или в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Это достигается с помощью выбора ортонормального базиса в H.

Система векторов \ {U_i: i \ in I \} гильбертова просторная H, индексируемой множеством I, называется ортогональной, если (U_i, u_j) = 0 для любых i \ ne j \ in I и ортонормального, если дополнительно (U_i, u_i) = 1 для любого i \ in I. Таким образом, ортонормального система состоит из попарно ортогональных векторов гильбертова просторная единичной длины. Система векторов называется полной, если множество их конечных линейных комбинаций - плотная в H. Полная ортонормального система векторов гильбертова просторная H называется ортонормального базисом в H. Полнота ортонормального системы векторов проверяется с помощью равенства Парсеваля см.. ниже. Координаты вектора w \ in H относительно данного ортонормального базиса - это скаляры a_i = (u_i, w), i \ in I. Вектор w полностью определен своими координатами и может быть формально разложен по элементам ортонормального базиса:

w = \ sum_ {i \ in I} a_i u_i = \ sum_ {i \ in I} (u_i, w) u_i.

Сепарабельних Гильбертовы пространства образуют важнейший класс нескинченовимирних гильбертовых пространств. Они могут быть охарактеризованы как такие, в которых можно выбрать ортонормального базис из Счетное множества векторов. Оказывается, что за избранием ортонормального базиса \ {U_1, u_2, \ ldots, u_n, \ ldots \} любой (нескинченовимирний) сепарабельного гильбертово пространство H становится изоморфным к l ^ 2. Действительно, рассмотрим отображение

L: H \ to l ^ 2, \ quad L (v) = \ {(v, u_n): n = 1,2, \ ldots \}

которое сопоставляет любом вектора v \ in H последовательность его координат относительно ортонормального базиса \ {U_n: n \ in \ mathbb {N} \}. Тогда L - Это линейное отображение, и нужно еще убедиться, что оно является изометрией с образом l ^ 2. Эти свойства вытекают из следующего равенства Парсеваля.


4. Равенство Парсеваля

Предположим, что \ {U_1, u_2, \ ldots \} - Это конечное или счетное ортонормального система векторов в гильбертовом пространстве H. Полнота этой системы эквивалентна выполнению следующего равенства для всех векторов v \ in H:

\ Sum | (u_i, v) | ^ 2 = (v, v),

где сумма распространяется на все элементы данной системы векторов. В любом случае, ряд в левой части этого равенства сходится и его сумма не превышает по правую часть, этот факт называется неравенства Бесселя.

Равенство Парсеваля впервые появилась в исследовании рядов Фурье непрерывных функций на конечном интервале в таком виде:

2a_0 ^ 2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n ^ 2 + b_n ^ 2) \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x ) ^ 2 dx, \ quad где
a_0 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) dx, \ quad a_n = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ cos (nx) dx, \ quad b_n = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ sin (nx) dx, \ quad n \ geq 1

- Коэффициенты Фурье действительной функции f (x) - \ pi \ leq x \ leq \ pi. По элементарными преобразованиями, из этого следует, что комплексные экспоненциальные функции \ {E ^ {inx} = \ cos (nx) + i \ sin (nx), n \ in \ mathbb {Z} \} образуют ортонормального базис в определении выше комплексном гильбертовом пространстве L ^ 2 [- \ pi, \ pi].


См.. также

Примечания

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space - www.encyclopediaofmath.org / index.php / Hilbert_space
  2. В.М.Кадец, Курс функционального анализа, Х Издательство ХНУ, 2004 - с.290

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
  • Морен К., Методы гильбертова пространства. - М.: Мир, 1965. - 570 c.
  • Банах С. Курс функционального анализа (линейные операции). - К. : Просвещение, 1948. - 216 с.
  • Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
  • Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - М. : Наука, 1967. - 416 с.
  • Иосида К. Функциональный анализ. - М. : Мир, 1967. - 624 с.