Гомотопия

Гомотопия - в математике понятие алгебраической топологии, что формализует понятие непрерывной деформации одного объекта на другой. С помощью гомотопии определяются гомотопические группы, которые являются важными инвариантами в алгебраической топологии.


1. Формальное определение

Пусть X и Y - топологические пространства и f и g - два непрерывных отображение из пространства X в пространство Y . Тогда отображение f называется гомотопных отражению g, если существует непрерывное отображение H \ colon X \ times [0,1] \ to Y такое, что f (x) = H (x, 0) и g (x) = H (x, 1) для x ∈ X. Данное непрерывное отображение называется гомотопиею.


2. Связанные определения

Гомотопические эквивалентность бублика и чашки
  • Гомотопической инвариант - это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопных эквиваленте, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
  • Если на некотором подмножестве A \ subset X, \; F (t, a) = f (a) для всех t при a \ in A , То F называется гомотопиею относительно A , А f и g гомотопных относительно A .
  • Изотопии - гомотопия топологического пространства X по топологическом пространства Y, есть f_t \ colon X \ to Y, \; t \ in [0,1] , В которой при любом t отражение f_t есть гомеоморфизмом X на f (X) \ subset Y .

3. Гомотопической эквивалентности

  • Гомотопической эквивалентности топологических пространств X и Y - Пара непрерывных отображений f \ colon X \ to Y и g \ colon Y \ to X такая, что f \ circ g \ sim \ operatorname {id} _Y и g \ circ f \ sim \ operatorname {id} _X , Здесь \ Sim обозначает гомотопические эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопных эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопных тип.

4. Свойства

Рефлексивность. Если f \ colon X \ to Y - Некоторое непрерывное отображение, тогда функция H \ colon X \ times I \ to Y определена H (x, t) = f (x) будет гомотопиею между f и f.
Симметричность. Пусть отображение f \ colon X \ to Y гомотопных отражению g \ colon X \ to Y и H \ colon X \ times I \ to Y - Соответствующая гомотопия. Тогда g является гомотопных f с гомотопиею H ^ '(x, t) = H (x, 1 - t) .
Транзитивность. Пусть отображение f \ colon X \ to Y гомотопных отражению g \ colon X \ to Y и H \ colon X \ times I \ to Y - Соответствующая гомотопия. Пусть также отображение g \ colon X \ to Y гомотопных отражению h \ colon X \ to Y и F \ colon X \ times I \ to Y - Соответствующая гомотопия. Тогда Тогда f является гомотопных h с гомотопиею:
G (x, t) = \ begin {cases} H (x, 2t) & t \ in [0, 0,5], \ \ H (x, 2t-1); & t \ in (0,5, 1 ], \ end {cases}
  • Все отображения h_t (x) = H (x, t) \, являются непрерывными.
  • Если \ F, f '\ colon X \ to Y, g \ colon Y \ to B, h \ colon A \ to X - Непрерывные отображения, и H \ colon X \ times I \ to Y - Гомотопия между f и f ' , То g \ circ H \ circ (h \ times I) является гомотопиею между g \ circ f \ circ h и g \ circ f '\ circ h .

5. Примеры

  • Если Y = \ R ^ m , То функции f и g всегда есть гомотопных. Гомотопия определяется: H (x, t) = f (x) + t \ left [g (x) - f (x) \ right].
  • Множества X = [0, 1], \; Y = (0, 1) является гомотопической эквивалентными, но не гомеоморфными.
  • Единичное круг \ Mathcal S ^ 1 гомотопных эквивалентно пространства \ Mathbb R ^ 2 \ setminus \ {0 \} .

Литература

  • Васильев В. А. Введение в топологии. - М.: фазис, 1997. - 132 с. - ISBN 5-7036-0036-7
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - М.: Наука, 1977
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. - М.: Мир, 1971