Группа (математика)

Группа - одно из важнейших понятий современной алгебры, которое имеет многочисленные применения в большинстве смежных дисциплинах. В основном группа возникает как множество всех преобразований (симметрий) некоторой структуры. Результатом последовательного применения двух преобразований будет снова некоторое преобразования. Понятие абстрактной группы является обобщением групп симметрий и определяется как множество с операцией умножения (композиции), удовлетворяющее определенным аксиомам ( ассоциативности, существования нейтрального и обратного элемента) [1]. В приложениях математики группы часто возникают как средство систематически описывать симметрии разного рода или как группы преобразований.


1. Определение

Группой называется множество G, на которой определены бинарную операцию G \ times G \ to G , Что обычно называют умножением и обозначают (A, b) \ to a \ cdot b или \ (A, b) \ to ab , И имеет следующие свойства:

  • Ассоциативность : для произвольных элементов a, b, c группы G выполняется равенство \ A (bc) = (ab) c
  • Существование нейтрального элемента : существует элемент e такой, что для каждого элемента a группы G выполняется \ Ea = ae = a
  • Существование обратного элемента: для каждого элемента a группы существует элемент a ^ {-1} такой, что a ^ {-1} a = aa ^ {-1} = e .

Операция умножения в группе не обязательно коммутативной.

Таким образом, группа является моноидом, в котором для каждого элемента существует обратный.

Свойства абстрактных групп изучаются в теории групп. Ведущую роль в геометрии, в частности в дифференциальной геометрии и топологии, играют действия групп на различных пространствах).


1.1. Абелевы группы и аддитивные группы

Группа G называется коммутативной или абелева (в честь норвезьського математика Нильса Генриха Абеля), если дополнительно выполняется тождество

ab = ba \ quad \ forall a, b \ in G ( закон коммутативности).

Групповую операцию в коммутативной группе часто записывают как добавление (обычное добавление действительных чисел или векторов является примером групповой операции). В таком случае изменяется обозначения a \ cdot b на a + b . Роль нейтрального элемента e играет нулевой элемент 0, удовлетворяющей тождества:

0 + a = a \ quad \ forall a \ in G.

Роль обратного элемента a ^ {-1} играет противоположный элемент -A, удовлетворяющей тождества:

(-A) + a = a + (-a) = 0 \ quad \ forall a \ in G.

2. Примеры групп

  1. \ {\ Z, + \} - Аддитивная группа целых чисел, с обычными добавлением + , Нулевым элементом 0 и противоположным элементом -A . Так же образуют аддитивные группы все рациональные, действительны и комплексные числа. С другой стороны, натуральные числа \ N не образуют группы, потому что если a \ in \ N,-a \ notin \ N .
  2. Для любого натурального N , остатки по модулю N образуют конечную аддитивную группу N элементов, циклическую группу порядка N .
  3. S_n (n = 1,2,3, \ ldots) , Группа перестановок n -Элементной множества. Операция - это композиция перестановок. Эта группа - некоммутативных при n \ geq 3 и неразрешима при n \ geq 5 . По теории Галуа, из этого следует неразрешимость общего алгебраического уравнения степени n \ geq 5 .
  4. Ненулевые кватернионы \ Mathbb {H} ^ * = \ mathbb {H} \ setminus \ {0 \} .
  5. GL_n (\ R) , Группа n \ times nквадратных матриц с действительными элементами и ненулевым определителем. Операция - это произведение матриц, нейтральный элемент - единичная матрица. Вообще, можно рассмотреть матрицы над произвольным полем вместо \ R . С другой стороны, все n \ times n матрицы не образуют группу по умножением, потому что нулевая матрица не имеет обратной.
  6. SL_n (\ R) , Группа n \ times n матриц с действительными элементами и определителем 1 . Эта группа является подгруппой группы GL_n (\ mathbb {R}) из предыдущего примера.
  7. Группы \ Mathbb {H} ^ *, GL_n (\ R), SL_n (\ R) - То топологические группы и группы Ли. Последние две группы действуют на векторном пространстве \ R ^ n обычным умножением n \ times n матриц и n \ times 1 векторов.
  8. Группа поворотов и их комбинаций Кубика Рубика.

3. Группы с дополнительной структурой

Если группа G является топологическим пространством, а операции умножения и взятия обратного - непрерывные отображения, то G - это топологическая группа.

Если G имеет структуру многообразия и групповые операции совместимы с этой структурой (есть гладкими), тогда G называют группой Ли (ранее - непрерывной группой), в честь норвежского математика Софус Ли, который начал их исследования.


См.. также

Примечания

  1. Корн Г., Корн Т. "12.2-1", Справочник по математике для научных работников и инженеров второе (рус.). - Москва: Наука, 1984.

Литература


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.