Интеграл вдоль траекторий

Иллюстрация дерева путей, ведущих из точки A в точку B

Интеграл вдоль траекторий - математический оператор, который используется в Фейнмановому формулировке квантовой механики.

Формальное определение интеграла вдоль траекторий дается формулой

\ Int \ limits_ {W [t_0, t]} (\ ldots) D [q (t)] = \ lim \ limits_ {n \ rightarrow \ infty, \ varepsilon \ rightarrow 0} \ left (\ frac {m} { 2 \ pi i \ hbar \ varepsilon} \ right) ^ {(n +1) / 2} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty \ dots \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty (\ ldots) dq_1 \ ldots dq_n ,

где \ Varepsilon (n +1) = t - t_0 , W [t_0, t] \, - множество всех траекторий, соединяющих начальную точку (Q_0, t_0) \, и конечную точку (Q, t) \, , M - масса квантовой частицы, \ Hbar - возведена постоянная Планка.

Постулатом Фейманового формулировки квантовой механики является то, что пропагатор задается интегралом вдоль траекторий:

K (qt | q_0t_0) = \ int \ limits_ {W [t_0, t]} \ exp \ left (\ frac {i} {\ hbar} S [q (\ cdot) t_0, t] \ right) D [ q (t)] ,

где S [q (\ cdot) t_0, t] - Классическая действие.


1. Качественная интерпретация

В отличие от обычного интеграла, в котором суммируются значения функции на отрезке, в интеграле вдоль траекторий суммируются значения функции вдоль всех возможных кривых, соединяющих начальную и конечную точку. В рамках Фейнманового формулировки квантовой механики такой интеграл определяет амплитуду вероятности того, что квантовая частица переместится из начальной точки в конечную.

Если в классической механике реализуется и из траекторий, которой соответствует наименьшее значение действия, то в квантовой механике свой ​​вклад в вероятность перехода частицы из одной точки в другую вносят все возможные кривые, соединяющие эти точки. Поскольку в квантовой механике определяется не вероятность перехода, а амплитуда вероятности, то вклады различных траекторий интерферируют.


2. Интеграл вдоль траекторий в фазовом пространстве

Квантовую механику можно выразить через интегралы вдоль траекторий, используя также канонические переменные - координату и импульс. Пропагатор частицы задается при таком подходе через соотношение:

K (qt | q_0t_0) = \ int \ limits_ {W [t_0, t]} \ exp \ left (\ frac {i} {\ hbar} \ int_ {t_0} ^ t (p \ dot {q} - \ mathcal {H} (q, p)) dt \ right) D [q (t)] D [p (t)] ,

где \ Mathcal {H} - функция Гамильтона.

Интегрирование проводится вдоль всех траекторий в фазовом пространстве с фиксированным значением координаты в начальной и конечной точках.


3. Статистическая механика

В квантовой статистической механике зележна от температуры матрица плотности удовлетворяет уравнению

- \ Frac {\ partial \ hat {\ rho}} {\ partial \ beta} = \ hat {H} \ hat {\ rho} ,

где \ Beta = \ frac {1} {k_B T} , k_B - постоянная Больцмана.

Формальный решение этого уравнения

\ Hat {\ rho} (\ beta) = e ^ {- \ beta \ hat {H}} \ hat {\ rho} (0) .

Статистическая сумма равна следа матрицы плотности

Z = \ text {Sp} \, \ hat {\ rho} .

Вводя условный "время" u = \ beta \ hbar , Где \ Hbar - возведена постоянная Планка, и разбивая интервал [0, U] на мелкие интервалы, можно записать

\ Hat {\ rho} (U) = \ int \ limits_ {W (0, U)} \ Phi [u] D [u] ,

рассматривая все возможные траектории, которыми система может переместиться из начального состояния при бесконечно высокой температуре в конечное состояние при температуре, определяется значением U.


4. История

Формулировка квантовой механики через интегралы вдоль траекторий разработал в 1948 году Ричард Фейнман.


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Литература

  • Вакарчук И.А. Квантовая механика. - 4-е издание, дополненное. - Л. : ЛНУ им. Ивана Франко, 2012. - 872 с.
  • Юхновский И.Р. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. - Ижевск: РХД, 2009. - 632 с.
  • Зинн-Жюстен Ж. континуальные интеграл в квантовой механике. - М. : Физматлит, 2010. - 360 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траектории. - М. : Мир, 1968. - 384 с.
  • Simon B. Functional Integration AND Quantum Physics. - Academic Press, 1979.