Надо Знать

добавить знаний



Катастрофа (математика)



План:


Введение

Катастрофа - скачкообразное изменение состояния динамической системы при непрерывном изменении параметра.

Теория катастроф была развита в 1960-х годах французским математиком Рене Томом.

Катастрофы происходят в области особых точек, бифуркаций.


1. Катастрофы в градиентных системах

Пусть динамическая система описывается уравнениями:

\ Frac {d \ mathbf {X}} {dt} = - \ frac {\ partial V (\ mathbf {X})} {\ partial \ mathbf {X}}

где \ Mathbf {X} = (X_1, X_2, \ ldots, X_s) - Динамические переменные, а V ({\ mathbf {X}}) - Определенная потенциальная функция (функция Ляпунова), которая помимо динамических переменных зависит также от определенного набора параметров.

Стационарные точки этой системы находятся с уравнения:

\ Frac {\ partial V} {\ partial X_i} = 0 ,

а бифуркация возникает, когда определитель

\ Det \ left | \ frac {\ partial ^ 2 V} {\ partial X_i \ partial X_j} \ right | = 0 ,

взятый в стационарной точке, меняет знак.

При изменении параметров количество стационарных точек и их устойчивость могут меняться. Причем решения этого уравнения могут появляться и исчезать даже при непрерывном изменении параметра.


2. Типы катастроф

В зависимости от количества переменных и поведения потенциала в окрестности особой точки катастроф присущи определенные характерные типы. Для каждого типа характерна своя количество переменных. Часто системы с большей размерностью в окрестности особой точки можно упростить до систем с меньшей размерностью, проведя замену переменных таким образом, чтобы выделить те из них, которые существенны для катастрофы.

2.1. Катастофа складки

Потенциал в случае существования двух стационарных точек. Стрелками указано направление эволюции системы

Самая катастрофа возникает при потенциале в форме

V (X) = \ lambda X + X ^ 3

тогда, когда параметр \ Lambda \, меняет свой знак. Уравнение V (X) = 0 имеет одно решение при \ Lambda> 0 \, и три решения при \ Lambda <0 . Уравнение \ Frac {dV (X)} {dX} = 0 нет никакого решения при \ Lambda> 0 \, и два решения при \ Lambda <0 :

X_1 = - \ sqrt {\ frac {- \ lambda} {3}}, \ qquad X_2 = \ sqrt {\ frac {- \ lambda} {3}}.

Вторая производная от потенциала равна 6X \, и в особых точках вступает значений:

V ^ {\ prime \ prime} (X_1) = 6 X_1 = - 6 \ sqrt {\ frac {- \ lambda} {3}} <0, \ qquad V ^ {\ prime \ prime} (X_2) = 6 X_2 = 6 \ sqrt {\ frac {- \ lambda} {3}}> 0 .

Таким образом, особая точка X_1 - Неустойчивая, точка X_2 - Стойка.

При \ Lambda> 0 \, динамическая система с таким потенциалом не имеет особых точек и ее движение инфинитным. При любых начальных условиях переменная X, которая описывается динамическим ривнням: \ Dot {X} = - dV / dX уменьшаться со временем к минус бесконечности.

В случае \ Lambda <0 \, поведение системы зависит от начальных условий. Если в начальный момент времени переменная X была меньше X_1 \, , Тогда она и впредь будет уменьшаться со временем к бесконечности. Если в начальный момент времени переменная X была больше X_1 \, , То со временем ее значение следовать до точки X_2 \, , Которая является аттракторы для системы.

Катастрофа происходит при изменении параметра \ Lambda \, от отрицательных значений к положительным для системы, состояние которой близок к точке X_2 . При непрерывном изменении параметра \ Lambda \, , Как только он хоть немного превысит нулевое значение, равновесное состояние системы перестает существовать и значение переменной X "убегает" в минус бесконечность.

Физически такого типа катастофа можно представить себе, как восход лавины. Снег держится на склоне, пока его масса не превысит определенного значения, после чего происходит быстрое скатывание. Другой пример - обрыв веревки. Веревка может удерживать груз определенного веса, но при перевищуванни этой веса, она не выдерживает и обрывается.

Если построить график зависимости значений величины X в особых точках от значения параметра \ Lambda , То это будет выглядеть, как график изогнутого (складочный) листу бумаги. Этому сравнению такая катастрофа благодаря своему названию: катастрофа складки. Проекция этой зависимости на ось параметра \ Lambda разбивает все значения параметра на те, при которых особые точки существуют (отрицательные значения), и те, при которых их нет - отрицательные.


2.2. Катастрофа сборки

Бифуркационные кривая в зависимости от параметров \ Lambda_1 , Ось абсцисс и \ Lambda_2 , Ось ординат

Трехмерный график зависимости значения переменной в особой точке от параметров этого типа катастрофе напоминает сборку (морщинки) на одежде, чем она обязана названию.

Потенциал V (X) для катастрофы сборки зависит от двух параметров:

V (X) = X ^ 4 + \ lambda_1 X ^ 2 + \ lambda_2 X .

При таком потенциале движение всегда финитных, но количество аттракторов в зависимости от значения параметров может меняться от одного до двух.


При положительных значениях параметров \ Lambda_1 \, и \ Lambda_2 \, система всегда имеет единственную устойчивую особую точку X = 0. При отрицательных значениях параметров существует область, в которой особых точек три. При этом точка X = 0, теряет стабильность. Эта область параметров ограничена бифуркационного кривой, уравнение которой

\ Frac {8} {27} \ lambda_1 ^ 3 + \ lambda_2 ^ 2 = 0 .

Изменение состояния системы, т.е. катастрофа, происходит тогда, когда значения параметров пересекают эту кривую.

Физическим примером такой катастрофы является перемагничивания магнита. При температуре выше точки Кюри, что соответствует положительным значениям параметров \ Lambda_1 , Магнит не имеет собственного магнитного момента. При температуре ниже точки Кюри, магнит находится в магнитном состоянии и имеет собственный магнитный момент, который может быть ориентирован в произвольном направлении. При приложении магнитного поля, имеет направление, противоположное направлению намагниченности магнита, магнит сохранять свои выводы, пока поле (которое может увеличиваться непрерывно) не достигнет определенного значения, при котором полюса магнита изменятся на противоположное. Такое изменение будет очень быстрой, катастрофической для однодоменного магнита, хотя реальные магниты имеют много домемив, и их перемагничивания происходит не так быстро. Если изменить направление внешнего магнитного поля и построить график намагниченности, то на графике будет наблюдаться петля гистерезиса.

Аналогичные гистерезисные явления наблюдаются во многих физических системах, в которых существует бистабильность.


2.3. Катастрофа ласточкин хвост

Бифуркационные поверхность при крушении ласточкин хвост

В системах с одной переменной, но с тремя параметрами возможна еще сложнее катастрофа, которая получила название ласточкина хвоста. Потенциал для нее записывается в форме

V (X) = X ^ 5 + \ lambda_1 X ^ 3 + \ lambda_2 X ^ 2 + \ lambda_3 X .

2.4. Другие катастрофы

Том рассмотрел все типы катастроф, которые возникают при количестве параметров, не большей чем четыре. Среди них

  • Бабочка
    V (X) = X ^ 6 + \ lambda_1 X ^ 4 + \ lambda_2 X ^ 5 + \ lambda_3 X ^ 2 + \ lambda_3 X .
  • Гиперболическая омбиолика
    V (X, Y) = X ^ 2 + Y ^ 2 + \ lambda_1 XY - \ lambda_2 Y - \ lambda_3 X .
  • Эллиптическая омбиолика
    V (X, Y) = Y ^ 2 -3 X ^ 2Y ^ 2 + \ lambda_1 (X ^ 2 + Y ^ 2) - \ lambda_2 Y - \ lambda_3 X .
  • Параболическая омбиолика
    V (X, Y) = Y ^ 2X + X ^ 2 + \ lambda_1 Y ^ 2 + \ lambda_2 X ^ 2 - \ lambda_3 Y - \ lambda_4 X .

Российский математик Владимир Арнольд классифицировал все катастрофы за группами Ли, которые им соответствуют.


Источники

  • Сугаков В. И. Основы синергетики. - Киев: Обереги, 2001.
  • Ren Thom, Stabilit structurelle et morphognse, Interdition, Paris, 1977
  • Ren Thom, Paraboles et catastrophes, d. Champs Flammarion n 186, 1983
  • Ren Thom, Prdire n'est pas expliquer, d. Champs Flammarion n 288, 1993
  • Vladimir Arnol'd. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам