Конгруэнтность (геометрия)

Пример конгруэнтности. Две фигуры слева конгруэнтные, тогда как третья подобная им. Последняя ни подобная, ни конгруэнтен одной другой. Заметим, что конгруэнтность изменяет некоторые свойства, такие как расположение и ориентация, но другие оставляет неизменными, например расстояния и углы. Неизменные свойства называют инвариантами

В геометрии, две фигуры конгруэнтные если они имеют одинаковую форму и размер. Более формально, два набора точек называются конгруэнтными тогда и только тогда, если один набор может быть преобразован в другой с помощью изометрии, то есть комбинации параллельного переноса, вращения и отражения.

Родственное понятие сходства позволяет изменение размера.


1. Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В евклидовой системе, конгруэнтность краеугольный понятие, это соответствие равенства для чисел. В аналитической геометрии, конгруэнтность может быть определена интуитивно таким образом: два отображения фигуры декартовой системе координат конгруэнтные тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении, евклидово расстояние между ними равно евклидовой расстояния между двумя соответствующими точками во втором отражении.

Более формальное определение: две подмножества A и B евклидова пространства R n называются конгруэнтными если существует изометрия f: R nR n (элемент евклидовой группы E (n)) с f (A) = B. Конгруэнтность является отношением эквивалентности.


2. Конгруэнтность треугольников

Два треугольники конгруэнтные если их соответствующие стороны и углы равны между собой.

Если треугольник ABC конгруэнтны треугольнике DEF, математически это может быть записано так:

\ Triangle \ mathrm {ABC} \ cong \ triangle \ mathrm {DEF}

Во многих случаях этого достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов для вывода конгруэнтности двух треугольников.

Конгруэнтность двух треугольников можно определить через две стороны и угол между ними (СКС ( англ. SAS )), Два угла и сторону между ними (КСК ( англ. ASA )) Или два угла и соответствующую прилегающую сторону (ККС ( англ. AAS )). Однако, при определении через две стороны и прилегающий угол (ССК ( англ. SSA )), Можно получить два различных треугольника

2.1. Определение конгруэнтности

Достаточным признаком конгруэнтности между двумя треугольниками в евклидовом пространстве может быть одна из следующих равенств:

  • ССС (Сторона-Сторона-Сторона): Если три пары сторон двух треугольников равны по длинам, тогда треугольники конгруэнтные.
  • СКС (Сторона-Кут-Сторона): Если две пары сторон двух треугольников уровне и углы между ними тоже равны, тогда треугольники конгруэнтные.
  • КСК (Кут-Сторона-Кут): Если пара углов двух треугольников равна и стороны, лежащие между этими углами в двух треугольниках также уровни, тогда треугольники конгруэнтные
    Постулат КСК был введен Фалес Милетский. В большинстве систем аксиом, три критерия - СКС, ССС и КСК-внедрены как теоремы.
  • ККС (Кут-Кут-Сторона): Если две пары углов и соответствующие стороны, лежащие между ними в двух треугольниках равны, то треугольники конгруэнтные.
  • ПГК (Прямой-угол-Гипотенуза-Катет): Если два прямоугольных треугольника имеют равные гипотенузы и пару равных катетов, они конгруэнтные.

2.1.1. Сторона-Сторона-Кут

Условие ССК, которая определяется через две стороны и угол отличный от образованного ими (также известная как КСС или Кут-Сторона-Сторона) не доказывает конгруэнтность. Для доказательства конгруэнтности нужна дополнительная информация, например, величина соответствующих углов и, в некоторых случаях, длины двух пар соответствующих сторон. Здесь возможны четыре случая:

Если два треугольника удовлетворяют условию ССК и соответствующие углы являются тупыми или прямыми, тогда треугольники конгруэнтные. В этом случае, длина стороны противоположного угла будет больше чем длина прилегающей стороны. Если угол прямой, тогда приходим к постулату ПГК, также третья сторона может быть вычислена через теорему Пифагора, и можно использовать ССС постулат.

Если два треугольника удовлетворяют условию ССК и соответствующие углы острые, а длина стороны противоположной угла больше или равна прилегающей стороне, тогда два треугольника конгруэнтные.

Если два треугольника удовлетворяют условию ССК и соответствующие углы острые, а длина противоположной стороны равна длине прилегающей стороны умноженной на синус известного угла, тогда два треугольника конгруэнтные.

Если два треугольника удовлетворяют условию ССК и соответствующие углы острые, а длина противоположной стороны больше длины прилегающей стороны умноженной на синус соответствующего угла, но меньше длины прилегающей стороны, тогда два треугольника обязательно конгруэнтные. Возникает двусмысленность, два разных треугольника могут удовлетворять этим условиям.


2.1.2. Угол-Кут-Кут

ККК (Кут-Кут-Кут) не предоставляет информации о размере треугольников, поэтому доказывает лишь сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве. Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где угол является функцией размера) этого достаточно для конгруэнтности на данном изгибе. [1]


Примечания

  1. Cornel, Antonio Geometry for Secondary Schools. - Bookmark Inc., 2002. ISBN 971-569-441-1.