Кривая

План:

1 Касательный вектор
2 Длина кривой
3 Кривизна кривой
4 Геометрический смысл кривизны
5 Типы кривых
- 5.1 Типы точек на кривой
6 Скрут
7 Формулы Френе-Серре
8 Смотрите также

Введение

Кривая - линия в евклидовом пространстве или в многообразия.

Уравнение кривой можно задавать в параметрической форме:

$x ^ i = x ^ i (t) \,$

где $x ^ i \,$ - Координаты точек кривой в некоторой системе координат, заданной в Евклидовом пространстве или многообразия, а - Скалярный параметр (его можно физически представлять моментом времени t = time, а саму кривую как траекторию движения точки)

Рассмотрим уравнение кривой в Декартовой системе координат -Мерного евклидова пространства. Введем обозначения радиус-вектора точки кривой:

$\ Mathbf {r} = \ {x ^ 1, x ^ 2, ... x ^ n \}$

1. Касательный вектор

Производную по параметру обозначать точкой сверху:

$\ Dot \ mathbf {r} = {d \ mathbf {r} \ over dt}$

$\ Dot x ^ i = {dx ^ i \ over dt}$

Очевидно, что вектор $\ Mathbf {v} = \ dot \ mathbf {r}$ (В физическом интерпретации скорость точки) является касательным к кривой.

2. Длина кривой

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками $\ Mathbf {r}$ и $\ Mathbf {r} + d \ mathbf {r}$ равна:

$(1) \ qquad ds ^ 2 = (d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}) = \ sum_i (dx ^ i) ^ 2 = \ sum_i (d \ dot x ^ i) ^ 2 \, (dt) ^ 2$

Длина отрезка кривой, когда параметр пробегает значения от t_1 к t_2 , Дается интегралом:

$(2) \ qquad s = \ int_ {t_1} ^ {t_2} ds = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {\ dot x ^ i \ dot x ^ i} \, dt$

Если в интеграле (2) рассматривать верхний предел как переменный параметр, то есть функцию s = s (t) , Определенную с точностью до константы (точки отсчета, или нижней границы в интеграле (2)). Эта величина также параметризуе точки нашей кривой; называется натуральным параметром кривой.

Если вектор скорости $\ Mathbf {v} = \ dot \ mathbf {r}$ нигде не превращается в ноль, то подынтегральная функция в (2) положительная, а значит функция s = s (t) везде монотонно возрастает и имеет обратную функцию t = t (s) .

3. Кривизна кривой

Из равенства $ds ^ 2 = (d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r})$ следует, что производная радиус-вектора по натуральному параметру кривой:

$\ Boldsymbol {\ tau} = {d \ mathbf {r} \ over ds}$

является касательным вектором единичной длины.

$(3) \ qquad \ boldsymbol {\ tau} ^ 2 = (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ boldsymbol {\ tau}) = 1$

Дифференцируя (3) по натуральному параметру имеем:

${D \ over ds} (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ boldsymbol {\ tau}) = 2 (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot {d \ boldsymbol {\ tau} \ over ds}) = 0$

Итак вектор $\ Mathbf {k} = {d \ boldsymbol {\ tau} \ over ds} = {d ^ 2 \ mathbf {r} \ over ds ^ 2}$ ортогональный к кривой. Этот вектор принято раскладывать на произведение единичного вектора $\ Mathbf {n}$ нормали к кривой, и скаляра который называется кривин:

$\ Mathbf {k} = k \ mathbf {n}$

4. Геометрический смысл кривизны

Покажем (даже двумя способами), что кривизна равна обратной величине радиусу касательной круга:

$(4) \ qquad k = {1 \ over R}$

Первый способ: через угол между касательными векторами единичной длины в соседних точках кривой. Пусть в точке с параметром имеем касательный вектор $\ Mathbf {\ tau}$ , А в точке с параметром $s '= s + \ Delta s$ - Касательный вектор $\ Mathbf {\ tau} '= \ mathbf {\ tau} + \ Delta \ mathbf {\ tau}$ . Эти два вектора имеют одинаковую длину (единицу), и если их начала свести в одну точку, образуют равнобедренный треугольник. Если угол между векторами обозначить $\ Delta \ alpha$ , То длина третьей стороны будет равна:

$| \ Delta \ boldsymbol {\ tau} | = 2 \ sin {{\ Delta \ alpha} \ over 2} \ approx \ Delta \ alpha$

Поскольку для окружности радиуса имеем $\ Delta s = R \ Delta \ alpha$ , То есть для кривизны кривой:

$k = | {{d \ boldsymbol {\ tau}} \ over ds} | \ approx {| \ Delta \ boldsymbol {\ tau} | \ over \ Delta s} = {{\ Delta \ alpha} \ over {R \ Delta \ alpha}} = {1 \ over R}$

Второй способ: через уравнение круга. Для простоты формул, возьмем начало координат евклидова пространства в точке кривой, для которой мы будем искать ближайший круг, а также будем отчислять натуральные параметры кривой и круга от этой же точки. С точностью до членов второго порядка малости имеем для точек кривой:

$(5) \ qquad \ mathbf {r} \ approx {d \ mathbf {r} \ over ds} s + {\ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix}} {d ^ 2 \ mathbf {r} \ over ds ^ 2} s ^ 2 = \ mathbf {\ tau} s + {\ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix}} \ mathbf {k} s ^ 2$

Окружность радиуса , Касательное к вектору $\ Mathbf {\ tau}$ , Иметь центр в ортогональной к $\ Mathbf {\ tau}$ гиперплоскости. Запишем координаты центра круга в виде $\ Mathbf {r} _c = R \ mathbf {n}$ , Где $\ Mathbf {n}$ является произвольным (пока) единичным вектором, лежащим в этой гиперплоскости. Есть ортогональность:

$(\ Mathbf {n} \ cdot \ boldsymbol {\ tau}) = 0$

Уравнение точки окружности в параметрической форме (параметром является центральный угол):

$(6) \ qquad \ mathbf {r} '= R \ sin t \ boldsymbol {\ tau} + R (1 - \ cos t) \ mathbf {n}$

Учтем, что длина дуги окружности равна s = Rt , И разложим последнее уравнение в ряд с точностью до слагаемых второго порядка малости:

$(7) \ qquad \ mathbf {r} '\ approx Rt \ boldsymbol {\ tau} + {\ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix}} Rt ^ 2 \ mathbf {n} = \ boldsymbol {\ tau} s + {1 \ over {2R}} \ mathbf {n} s ^ 2$

Сравнивая равенства (5) и (7), имеем что круг будет совпадать с кривой с точностью до членов второго порядка ( $\ Mathbf {r} '\ approx \ mathbf {r}$ ), Если:

$(8) \ qquad \ mathbf {k} = {1 \ over {R}} \ mathbf {n}$

5. Типы кривых

Замкнутая кривая - кривая у которой начало совпадает с концом.
Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
Простая кривая - то же, что кривая Жордана
Путь - непрерывное отображение отрезка в топологическое пространство.
Трансцендентная кривая

5.1. Типы точек на кривой

Точка излома
Точка перегиба

6. Скрут

Если евклидово пространство имеет размерность $n \ ge 3$ , То можно поставить вопрос о смене ориентации касательной плоскости (в которой лежат касательный вектор $\ Mathbf {\ tau}$ и вектор нормали $\ Mathbf {n}$ ) При движении вдоль кривой. Рассмотрим бивектор (специальную антисимметрична матрицу, компоненты которой выражены через координаты векторов $\ Mathbf {\ tau}$ и $\ Mathbf {n}$ ) $\ Mathbf {\ sigma} = \ mathbf {\ tau} \ wedge \ mathbf {n}$ :

$\ Sigma_ {ij} = \ tau_i n_j - \ tau_j n_i$

Величина этого бивектора равен единице (площади квадрата, построенного на векторах $\ Mathbf {\ tau}$ и $\ Mathbf {n}$ ):

$\ Sum_ {i <j} (\ sigma_ {ij}) ^ 2 = {1 \ over 2} \ sum_ {i, j} (\ tau_i n_j - \ tau_j n_i) ^ 2 = {1 \ over 2} \ sum_ {i, j} (\ tau_i ^ 2 n_j ^ 2 + \ tau_j ^ 2 n_i ^ 2 - 2 (\ tau_i n_i) (\ tau_j n_j)) = (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ boldsymbol {\ tau} ) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {n}) - (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ mathbf {n}) ^ 2 = 1$

Производная бивектора по натуральному параметру равна:

$\ Dot \ boldsymbol {\ sigma} = \ dot \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ mathbf {n} + \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} = k \ mathbf {n} \ wedge \ mathbf {n} + \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} = \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n}$

Отсюда делаем вывод, что две плоскости $\ Boldsymbol {\ sigma}$ и $\ Boldsymbol {\ sigma} '= \ boldsymbol {\ sigma} + \ Delta \ boldsymbol {\ sigma}$ пересекаются по прямой, касательной к кривой (содержат вектор $\ Boldsymbol {\ tau}$ ):

$\ Boldsymbol {\ sigma} '= \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ mathbf {n} + \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} \ Delta s = \ boldsymbol {\ tau} \ wedge ( \ mathbf {n} + \ dot \ mathbf {n} \ Delta s)$

Следовательно касательная плоскость при движении вдоль кривой вращается "вокруг" касательной прямой. Поворот в трехмерном пространстве имеет очевидный смысл, в пространствах большей размерности поворот означает угол между нормалями к общей прямой. Производная угла поворота по натуральному параметру называется свивкой:

$\ Varkappa = {d \ phi \ over ds} = | \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} |$

7. Формулы Френе-Серре

Рассмотрим подробнее случай кривой в трехмерном пространстве. Два единичные вектора $\ Boldsymbol {\ tau}$ и $\ Mathbf {n}$ мы можем дополнить третьим их векторным произведением:

$\ Mathbf {f} = \ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {n}$

Эти три вектора образуют репер (переменный базис в трехмерном пространстве), и мы можем поставить вопрос, как производные по натуральному параметру от векторов репера ( $\ Dot \ boldsymbol {\ tau}$ , $\ Dot \ mathbf {n}$ i $\ Dot \ mathbf {f}$ ) Разлагаются по этому же базису. Мы уже знаем, что $\ Dot \ boldsymbol {\ tau} = k \ mathbf {n}$ . Остается найти производные еще двух единичных векторов. Начнем с единичного вектора нормали $\ Mathbf {n}$ . С постоянства величины этого вектора находим:

$0 = {d \ over ds} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {n}) = 2 (\ mathbf {n} \ cdot \ dot \ mathbf {n})$

Есть производная $\ Dot \ mathbf {n}$ ортогональная до самого вектора нормали $\ Mathbf {n}$ , А потому разлагается по двум другим векторам репера:

$(9) \ qquad \ dot \ mathbf {n} = \ alpha \ boldsymbol {\ tau} + \ beta \ mathbf {f}$

Пользуясь этим расписанию, можно найти и производную $\ Dot \ mathbf {f}$ :

$\ Dot \ mathbf {f} = {d \ over ds} (\ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {n}) = \ dot \ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {n} + \ mathbf {\ tau} \ times \ dot \ mathbf {n} = k \ mathbf {n} \ times \ mathbf {n} + \ mathbf {\ tau} \ times (\ alpha \ mathbf {\ tau} + \ beta \ mathbf {f }) = \ beta \ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {f} = - \ beta \ mathbf {n}$

Найдем коэффициенты разложения $\ Alpha$ и $\ Beta$ . Из последней формулы видно, что $\ Beta$ (С точнитю до знака) является скоростью поворота единичного вектора $\ Mathbf {f}$ , А следовательно и касательной к кривой плоскости ( $\ Mathbf {f}$ является вектором нормали к этой плоскости). Так этот коэффициент свивкой: $\ Beta = \ varkappa$ . Коэффициент $\ Alpha$ можно найти, скалярно умножив равенство (9) на $\ Boldsymbol {\ tau}$ :

$\ Alpha = (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ dot \ mathbf {n}) = {d \ over ds} (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ mathbf {n}) - (\ dot \ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ mathbf {n}) = - (k \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {n}) =-k$

В итоге получаем систему трех уравнений:

$\ Dot \ boldsymbol {\ tau} = \ qquad k \ mathbf {n}$

$\ Dot \ mathbf {n} =-k \ boldsymbol {\ tau} \ qquad + \ varkappa \ mathbf {f}$

$\ Qquad \ dot \ mathbf {f} = \ qquad - \ varkappa \ mathbf {n}$

Эти уравнения открыли два французских математика: Жан Фредерик Френе (1852) и Жозеф Альфред Серре (1851).

Коэффициент $\ Varkappa$ в формулах Френе-Серре может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, правой или левой винтовой линии аппроксимируется наша кривая в окрестности данной точки.

8. Смотрите также

Линия