Надо Знать

добавить знаний



Кривизна (математика)



План:


Введение

В дифференциальной геометрии, кривизна - собирательное название ряда количественных характеристик ( многочисленных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического ?объекта? (кривой, поверхности, риманова пространства и т.п.) от соответствующих "плоских" объектов ( прямая, плоскость, евклидово пространство и т.п.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на "объекте" и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например как мера, такие определения используют для "объектов" пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках означает совпадение (локальный, но не глобальный) "объекта", изучаемого с "плоским" объектом.

В этой статье приводятся только несколько простых примеров определений понятия кривизны.


1. Кривизна кривой

Пусть γ (t) - регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризуеться длиной. Тогда

\ Kappa = | \ ddot \ gamma (t) |

называется кривин кривой γ в точке p = γ (t), здесь \ Ddot \ gamma (t) обозначает вторую производную по t. Вектор

k = \ ddot \ gamma (t)

называется вектором кривизны γ в точке p = γ (t0).

float

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно длиной), кривизна отражается формуле

\ Kappa = \ frac {| \ dot \ gamma \ times \ ddot \ gamma |} {| \ dot \ gamma | ^ 3} ,

где \ Dot \ gamma и \ Ddot \ gamma соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ в требуемой точке.

Для того, чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равна нулю.

Величина, обратная кривизны кривой ( r = 1 / \ kappa ), Называется радиусом кривизны, он совпадает с радиусом касательной круга в данной точке кривой. Центр этого круга называется центром кривизны.


2. Кривизна поверхности

Пусть \ Phi - Это регулярная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть p - Точка \ Phi , T_p - Касательная плоскость к \ Phi в точке p , n - Единичная нормаль к \ Phi в точке p , А \ Pi_e - Плоскость, проходящая через n и некоторое единичный вектор e в T_p . Кривая \ Gamma_e , Что получается как пересечение плоскости \ Pi_e с поверхностью \ Phi , Называется нормальным сечением поверхности \ Phi в точке p в направлении e . Величина

\ Kappa_e = k \ cdot n

где \ Cdot обозначает скалярное произведение, а k - Вектор кривизны \ Gamma_e в точке p , Называется нормальной кривин поверхности \ Phi в направлении e . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизна кривой \ Gamma_e .

В касательной плоскости T_p существуют два перпендикулярных направления e_1 и e_2 такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

\ Kappa_e = \ kappa_1 \ cos ^ 2 \ alpha + \ kappa_2 \ sin ^ 2 \ alpha

где \ Alpha - Угол между e_1 и e , A величины \ Kappa_1 и \ Kappa_2 нормальные кривизны в направлениях e_1 и e_2 , Они называются главными кривизны, а направления e_1 и e_2 - Главными направлениями поверхности в точке p .

Главные кривизны является экстремальными значениями нормальных кривин.

Структуру нормальных кривин в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H = \ kappa_1 + \ kappa_2 , (Иногда \ Frac {\ kappa_1 + \ kappa_2} 2 )

называется средней кривин поверхности.

Величина

K = \ kappa_1 \ kappa_2

называется гауссовой кривин поверхности. Гауссовых кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибания.


Литература

4. Смотри также


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам