Надо Знать![]() |
ВведениеКруг - геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, которая называется центром окружности, является постоянной величиной и равна радиуса круга. Круг с центром в точке О и радиусом r обозначают О (r). Инструментом для построения окружности есть циркуль - один из основных инструментов геометрии. 1. ТерминологияВнутреннюю часть круга, т.е. геометрическое место точек, расстояние которых до центра круга не превышает радиус, называют кругом. Отрезок прямой, соединяющей две точки окружности называется хордой. Самая длинная из хорд, диаметр, проходящей через центр круга. Диаметр круга равен двум радиусам. Прямая может не иметь с окружностью общих точек, иметь с кругом одну общую точку (такая прямая называется касательной к окружности) или иметь с ним две общие точки (такая прямая называется секущей к окружности). Касательная к окружности всегда перпендикулярна к его диаметра, один из концов которого является точкой соприкосновения. Две точки на окружности разбивают окружность на две дуги. Угол между радиусами, проведенными до двух точек на окружности, называется центральным. Область круга, ограниченная двумя радиусами и дугой называется сектором круга. Область круга, ограниченная хордой и дугой, называется сегментом. 2. Определение круга2.1. Алгебраическое определение Круг на плоскости, данного радиуса Это уравнение следует из теоремы Пифагора, при ее застовуванни к каждой точке круга, как показано на рисунке справа, где радиус это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого x - a и y - b. Если центр окружности находится в начале координат (0, 0), тогда уравнение упрощается до следующего вида: Общее уравнение окружности: Если известны координаты трех точек на плоскости 2.2. Параметрическое определение Круг на плоскости, данного радиуса где параметр 2.3. Полярные координатыУравнение окружности в полярных координатах : где a - радиус окружности, r 0 - расстояние от начала координат до центра окружности и φ - угол отложен против часовой стрелки от положительной оси x к линии соединяющей начало координат с центром круга. Для круга, центр которого находится в начале координат r 0 = 0, это уравнение упрощается до вида r = a. Если r 0 = a или если начало координат лежит на окружности, тогда получаем уравнение:
В общем случае, уравнение можно решить для r:
Розвязок со знаком минус перед корнем дает идентичную кривую. 2.4. Комплексная плоскостьУравнение окружности на комплексной плоскости : или в параметрическом виде 2.5. Определение АполлонияАполлоний из Перги показал, что круг можно задать как множество точек на плоскости, имеющих одинаковое отношение расстояний до двух фокусов A и B. О такой круг иногда говорят, что оно задано двумя точками 3. Свойства
4. Длина окружности и площадь круга Длину дуги окружности с радиусом
Длину окружности с радиусом
где Площадь ограниченного круга круга равна
где На протяжении многих веков математиков интересовала задача о квадратуру круга : построение с помощью линейки и циркуля квадрату с площадью, подобной площади круга. Эта задача не имеет решения, поскольку число пи трансцедентне, что доказал в 1882 Фердинанд фон Линдеманн. 5. Круг как конический сечениеКруг проста плоской кривой второго порядка и классифицируется как один из видов конического сечения. В узком смысле круг - отдельный случай эллипса, есть эллипс с одинаковыми полуосями, или другими словами круг является эллипсом с единичным эксцентриситетом. 6. Связанные и нормали Уравнение касательной к окружности в точке
где A, B и С - коэффициенты в общем уравнении круга. Уравнение нормали в этой же точке можно записать как См.. такжекод для вставки Данный текст может содержать ошибки. скачать |