Круг

План:

1 Терминология
2 Определение круга
3 Свойства
4 Длина окружности и площадь круга
5 Круг как конический сечение
6 Связанные и нормали

Введение

Круг

Круг - геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, которая называется центром окружности, является постоянной величиной и равна радиуса круга.

Круг с центром в точке О и радиусом r обозначают О (r).

Инструментом для построения окружности есть циркуль - один из основных инструментов геометрии.

1. Терминология

Внутреннюю часть круга, т.е. геометрическое место точек, расстояние которых до центра круга не превышает радиус, называют кругом.

Отрезок прямой, соединяющей две точки окружности называется хордой. Самая длинная из хорд, диаметр, проходящей через центр круга. Диаметр круга равен двум радиусам.

Прямая может не иметь с окружностью общих точек, иметь с кругом одну общую точку (такая прямая называется касательной к окружности) или иметь с ним две общие точки (такая прямая называется секущей к окружности).

Касательная к окружности всегда перпендикулярна к его диаметра, один из концов которого является точкой соприкосновения.

Хорда, секущая, касательная, диаметр.

Дуга, сектор и сегмент

Две точки на окружности разбивают окружность на две дуги. Угол между радиусами, проведенными до двух точек на окружности, называется центральным. Область круга, ограниченная двумя радиусами и дугой называется сектором круга. Область круга, ограниченная хордой и дугой, называется сегментом.

2. Определение круга

2.1. Алгебраическое определение

Круг радиуса r = 1, с центром (a, b) = (1.2, -0.5)

Круг на плоскости, данного радиуса , В определенной выбранной декартовой системе координат и , С центром в точке (a, b) описывается стандартным уравнением

$\ Left (x - a \ right) ^ 2 + \ left (y - b \ right) ^ 2 = r ^ 2.$

Это уравнение следует из теоремы Пифагора, при ее застовуванни к каждой точке круга, как показано на рисунке справа, где радиус это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого x - a и y - b. Если центр окружности находится в начале координат (0, 0), тогда уравнение упрощается до следующего вида:

$x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. \! \$

Общее уравнение окружности:

$Ax ^ 2 + Ay ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 \!$

Если известны координаты трех точек на плоскости $\ Left (x_1, y_1 \ right),$ $\ Left (x_2, y_2 \ right)$ и $\ Left (x_3, y_3 \ right)$ , То уравнение круга, проходящего через эти точки можно записать через определитель :

$\ Begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & x & y & 1 \ \ x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 & x_1 & y_1 & 1 \ \ x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 & x_2 & y_2 & 1 \ \ x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 & x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix} = 0.$

2.2. Параметрическое определение

Круг на плоскости, данного радиуса , В определенной выбранной декартовой системе координат и Описывается системой уравнений:

$x = a + r \, \ cos t, \, \!$

$y = b + r \, \ sin t \, \!$

где параметр - Пробегает значения от к $2 \ pi$ . С геометрической точки зрения это угол оси x, луча проведенного из начала координат до точки (x, y). Если записать x и y через параметр t, получим:

$x = a + r \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}$

$y = b + r \ frac {2t} {1 + t ^ 2}.$

2.3. Полярные координаты

Уравнение окружности в полярных координатах :

$r ^ 2 - 2 r r_0 \ cos (\ theta - \ phi) + r_0 2 = a ^ 2 \,$

где a - радиус окружности, r ₀ - расстояние от начала координат до центра окружности и φ - угол отложен против часовой стрелки от положительной оси x к линии соединяющей начало координат с центром круга. Для круга, центр которого находится в начале координат r ₀ = _0, это уравнение упрощается до вида r = a. Если r ₀ = a или если начало координат лежит на окружности, тогда получаем уравнение:

$r = 2 a \ cos (\ theta - \ phi)$ .

В общем случае, уравнение можно решить для r:

$r = r_0 \ cos (\ theta - \ phi) + \ sqrt {a ^ 2 - r_0 ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta - \ phi)}$ ,

Розвязок со знаком минус перед корнем дает идентичную кривую.

2.4. Комплексная плоскость

Уравнение окружности на комплексной плоскости :

$\ Left | z - z_0 \ right | = R \,$

или в параметрическом виде

$z = z_0 + Re ^ {it} \, t \ in \ R. \,$

2.5. Определение Аполлония

$\ Frac {d_1} {d_2} = \ textrm {const}$

Аполлоний из Перги показал, что круг можно задать как множество точек на плоскости, имеющих одинаковое отношение расстояний до двух фокусов A и B. О такой круг иногда говорят, что оно задано двумя точками

3. Свойства

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одно.
Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
Изопериметрические неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины круг ограничивает область максимальной площади.
Вписанный угол или равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180 .
- Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равна 90 .
Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне круга равен пивризници мер дуг, лежащих между секущими.
Угол между хордами, пересекающимися равен полусумме мер дуги, лежащий в углу и дуги напротив нее.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, взимаемый хордой.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равна произведению отрезков на которые делится другая.
Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равна абсолютной величине степени точки относительно окружности.
- Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равна абсолютной величине степени точки относительно окружности.

4. Длина окружности и площадь круга

Длину дуги окружности с радиусом , Образованного центральным углом $\ Varphi$ , Измеренным в радианах, можно вычислить по формуле

$L = \ varphi R$ .

Длину окружности с радиусом можно вычислить по формуле

$\ C = 2 \ pi R$ ,

где $\ Pi$ - число пи, которое определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.

Площадь ограниченного круга круга равна

$S = \ pi R ^ 2 = \ pi \ frac {D ^ 2} {4}$ ,

где D = 2R - Диаметр.

На протяжении многих веков математиков интересовала задача о квадратуру круга : построение с помощью линейки и циркуля квадрату с площадью, подобной площади круга. Эта задача не имеет решения, поскольку число пи трансцедентне, что доказал в 1882 Фердинанд фон Линдеманн.

5. Круг как конический сечение

Круг проста плоской кривой второго порядка и классифицируется как один из видов конического сечения. В узком смысле круг - отдельный случай эллипса, есть эллипс с одинаковыми полуосями, или другими словами круг является эллипсом с единичным эксцентриситетом.

6. Связанные и нормали

Уравнение касательной к окружности в точке $\ Left (x_1, y_1 \ right)$ определяется уравнением

$\ Left (\ frac {A} {2} + x_1 \ right) x + \ left (\ frac {B} {2} + y_1 \ right) y + \ left (\ frac {A} {2} x_1 + \ frac {B} {2} y_1 + C \ right) = 0$ ,

где A, B и С - коэффициенты в общем уравнении круга.

Уравнение нормали в этой же точке можно записать как

$\ Frac {x-x_1} {2x_1 + A} = \ frac {y-y_1} {2y_1 + B}. \,$

Круг

План:

Введение

1. Терминология

2. Определение круга

2.1. Алгебраическое определение

2.2. Параметрическое определение

2.3. Полярные координаты

2.4. Комплексная плоскость

2.5. Определение Аполлония

3. Свойства

4. Длина окружности и площадь круга

5. Круг как конический сечение

6. Связанные и нормали

См.. также