Надо Знать

добавить знаний



Метрическое пространство



План:


Введение

Метрическое пространство - это пара ( X, d ), Состоящая из некоторого множества X элементов и расстояния d , Определенной для любой пары элементов этого множества.


1. Формальное определение

Метрическим пространством называется пара (X, \; d) , Состоящая из некоторого множества элементов \; X и расстояния d \ colon X \ times X \ to \ R , А именно однозначной, неотъемлемой, действительной функции \; D (x, y) , Определенной для \ Forall x, y \ in X , Которая удовлетворяет следующие 3 аксиомы:

  1. d (x, \; y) = 0 \ Leftrightarrow x = y (Аксиома тотожости).
  2. d (x, \; y) = d (y, \; x) (Аксиома симметрии).
  3. d (x, \; z) \ leqslant d (x, \; y) + d (y, \; z) ( неравенство треугольника).

Неотъемлемость приходится с помощью следующих соображений:

0 = d (x, x) \ leqslant d (x, y) + d (y, x) = 2d (x, y)

2. Примеры метрических пространств

  1. Пространство изолированных точек
    d (x, y) = \ begin {cases} 0, & x = y \ \ 1, & x \ ne \ y \ end {cases}
  2. Множество действительных чисел образует метрическое пространство \ R ^ 1
    d (x, \; y) = | x-y |
  3. Множество упорядоченных групп с n действительных чисел x = (x_1, x_2, \ ldots, x_n) с расстоянием
    d (x, \; y) = \ sqrt {\ sum_ {k = 1} ^ n (y_k-x_k) ^ 2}
    называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством \ R ^ n .
  4. Ту же множество упорядоченных групп с n действительных чисел x = (x_1, x_2, \ ldots, x_n) , Но с расстоянием
    d_1 (x, \; y) = \ sum_ {k = 1} ^ n | y_k - x_k |
    обозначим пространство \ R ^ n_1 .
  5. Снова возьмем ту же множество, что в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формуле
    d_ \ infty (x, \; y) = \ max_ {1 \ leqslant k \ leqslant n} | y_k-x_k |
    Это пространство \ Mathbb {R} ^ n_ \ infty во многих вопросах анализа не менее удобен, чем евклидово пространство \ Mathbb {R} ^ n .
  6. Множество C_ {[a, b]} всех непрерывных действительных функций, определенных на промежутке [A, b] с расстоянием
    d (f, \; g) = \ max_ {a \ leqslant t \ leqslant b} | g (t)-f (t) |
  7. Обозначим через \ Mathit {l} _2 метрическое пространство, точками которого служат все возможные последовательности x = (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ ldots) действительных чисел, которые удовлетворяют условию: \ Sum_ {k = 1} ^ \ infty x_k ^ 2 <\ infty , А расстояние определяется формулой:
    d (x, y) = \ sqrt {\ sum_ {k = 1} ^ \ infty (y_k-x_k) ^ 2}
  8. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке [A, b] , Но расстояние определим по-другому, а именно:
    d (x, y) = \ left (\ int_a ^ b (x (t)-y (t)) ^ 2 \ right) ^ {1/2}
    Такой метрическое пространство обозначим C_2 [a, b] и будем называть пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой.
  9. Рассмотрев множество всех ограниченных последовательностей x = (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ ldots) действительных чисел, получим пространство \ Mathit m с метрикой:
    d (x, \; y) = \ sup_ {k} | y_k-x_k |
  10. Множество впрядкованих групп с n действительных чисел с расстоянием
    d (x, \; y) = (\ sum_ {k = 1} ^ n | y_k-x_k | ^ p) ^ {1 / p} ,
    где p - Любое фиксированное число \ Geq 1 . Это пространство обозначим \ Mathbb {R} ^ n_p

3. Метрические пространства и аксиомы зличенности

1. Любой метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме зличенности.

Доказательство

Пусть \; A - Произвольная точка метрического пространства \; X , Тогда в качестве Счетное определяющей системы окрестностей можно взять шары U (a, {1 \ over n}) \ equiv \ {x \ in X | d (a, x) <{1 \ over n} \}, n \ in \ mathbb {N} .
Тогда для каждой предельной точки найдется совпадающая последовательность точек из этого множества.

2. Если метрическое пространство сепарабельних, он удовлетворяет второй аксиоме зчисленности.

Доказательство

Счетное базу топологии такого пространства образуют, например, следующие открытые шары: U (x_n, {1 \ over m}), n, m \ in \ N , Где {\; X_n} - Счетное всюду плотная множество, а переменные m, \; n пробегают все натуральные числа независимо друг от друга.


4. Открытые и замкнутые множества, топология и сходимость

Любой метрическое пространство является топологическим пространством, поэтому все определения и теоремы, касающиеся топологических пространств, можно естественным образом распространить на метрические пространства.

Для любой точки \; X метрического пространства \; X определим открытую шар радиуса \; R> 0 с центром в точке \; X , Как множество B (x, r) \ equiv \ {y \ in X | d (x, y) <r \} . Такие открытые шары порождают топологию на \; X , А значит и топологическое пространство. Рожденная топология удовлетворяет многим хорошим условиям, например все аксиомы отделимости.

Подмножество \; U метрического пространства \; X называется открытой, если \ Forall x \ in U \; \ exists r> 0 , Такой что B (x, r) \ subset U. Дополнением к открытой множества называется замкнутая множество. Окрестностью точки x \ in X называется любая открытая подмножество \; X , Содержащий \; X .

Последовательность \ {\; X_n \} метрического пространства \; X называется сходящейся к границе x \ in X тогда и только тогда, когда \ Forall \ epsilon> 0 \; \ exists N \ in \ N \; \ forall n> N \; d (x_n, x) <\ epsilon. Также можно использовать общее определение сходимости для топологического пространства.

Подмножество \; A метрического пространства \; X замкнутая тогда и только тогда, когда любая последовательность \; A сходящееся в \; X и имеет границу, принадлежащего \; A .


5. Гомеоморфизм. Изоморфизм

Если отображение \; F: X \ to Y взаимно однозначное, то существует обратное отображение \; X = f ^ {-1} (y) пространства \; Y на пространство \; X . Если отображение \; F взаимно однозначное и взаимно непрерывное, то оно называется гомеоморфны отображением или гомеоморфизмом, а сами пространства \; X и \; Y , Между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными между собой. Важным частным случаем гомеоморфизма является так называемое изометрическое отображение.

Говорят, что биекции \; F между метрическими пространствами (X, \; d_1) и (Y, \; d_2) является изометрией, если d_1 (x_1, x_2) = d_2 (f (x_1), f (x_2)) \; \ forall x_1, x_2 \ in \ R . Пространства \; X и \; Y , Между которыми можно установить изометрическое соотношение, называются изометрическими.

Изометрия пространств означает, что метрические связи между их элементами одни и те же; разной может быть только природа их элементов с точки зрения теории метрических пространств несущественное. Изометрические между собой пространства можно рассматривать как тождественные.


6. Типы метрических пространств

6.1. Полные пространства

Метрическое пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность является сходящейся к элементу этого пространства: \ Forall \ epsilon> 0 \; \ exists N \ in \ N \; \ forall n> N \; \ forall m> N \; d (x_n, x_m) <\ epsilon .

Любой евклидово пространство, как и любая замкнутая множество, является полным метрическим пространством.

Любой метрическое пространство имеет единственное (с точностью до изометрии) пополнение, состоящее из полного метрического пространства, содержащего данное пространство в виде плотной подмножества.

Если \; X полная подмножество метрического пространства \; M , То \; X является замкнутым в \; M . Действительно, пространство \; X \ subset M является полным тогда и только тогда, когда он является замкнутым в полном метрическом пространстве \; M .

Если \; (X, d) - Полный метрическое пространство, то \; X есть множество второй категории (англ.).


См.. также

Литература

  1. С. Т. Завал Элементы анализа. Алгебра многочленов.. - М.: Просвещение, 1972.
  2. П. И. Голод; А. В. Климик Математические основы теории симметрий (украинский). - Киев: Наукова Думка, 1992. ISBN 5-12-002743-1.


Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам