Механика Гамильтона
Гамильтоновых механика - одна из формулировок законов механики, в целом аналогичное законам Ньютона, но удобное для обобщений, использования в статистической физике и для перехода к квантовой механики.
1. Функция Гамильтона
Функция Гамильтона определяется через обобщенные координаты
и обобщенные импульсы
исходя из функции Лагранжа
следующим образом.
Обобщенные импульсы определяются как
.
Функция Гамильтона определяется согласно
.
После этого все обобщенные скорости d
выражаются через обобщенные импульсы и координаты.
По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы.
В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил
,
есть функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не из-за скорости.
2. Канонические уравнения Гамильтона
Уравнение эволюции динамической системы записываются в гамильтоновых механике в виде
,
.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы со временем в том смысле, что зная значения обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая эту систему уравнений.
3. Практические использования
3.1. Функция Гамильтона для заряда в электромагнитном поле
Всего сила Лоренца не является потенциальной силой, поскольку зависит от скорости движения заряда. Однако ее можно включить в гамильтоновых механику записав функцию Гамильтона заряженной частицы в следующей форме (гауссовой система единиц):
где - Заряд частицы,
- электростатический потенциал,
- векторный потенциал.
В релятивистском случае:
.
3.2. Функция Гамильтона в теории относительности
Функцию Гамильтона в релятивистском случае можно получить путем стандартной процедуры, зная функцию Лагранжа (См. "Механику" Ландау):
Как видно, ее выражение полностью совпадает с выражением для потенциальной энергии релятивистской частицы, и не зависит в явной форме от импульса. Зная релятивистский импульс, это выражение можно переписать в виде квадратичной формы:
,
из которой и получаем общепризнанный выражение для функции Гамильтона:
.
Это выражение для функции Гамильтона широко используется в классической и квантовой механике.
3.3. Использование в квантовой механике
В квантовой механике оператор энергии строится по классической функции Гамильтона заменой обобщенных импульсов
на операторы импульса
, Где
- возведена постоянная Планка. Такой оператор называется гамильтонианом, а процедура перехода от функции Гамильтона к гамильтониана называется процедурой квантования.
Гамильтониан является главным оператором в квантовой механике, поскольку входит в главное уравнение квантовой механики - уравнения Шредингера.
3.4. Механический осциллятор
В случае классического механического осциллятора (без трения) функция Гамильтона имеет следующий вид:
где коэффициент жесткости, а
масса тела.
Первое дифференциальное уравнение Гамильтона будет:
,
Второе дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид:
,
Отсюда можно получить уравнение движения:
.
Можно привести значения "действия" на промежутке одного периода колебаний:
где амплитуда колебаний,
циклическая частота, а
период.
3.5. Электрический осциллятор
Для классического контура функция Гамильтона имеет вид:
где "Магнитный импульс" (фактически - магнитный поток).
Можно привести значения "действия" на промежутке одного периода колебаний:
где амплитудное значение заряда,
циклическая частота, а
период колебаний.
См.. также
Источники
- Ежов С. М., Макарец М.В., Романенко В. Классическая механика. - К. : ИПЦ "Киевский университет", 2008. - 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретическая механика. - К. : Высшая школа, 1975. - 516 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2007. - Т. 1. - 224 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2006. - Т. 2. - 536 с.
- тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. - М. : Наука, 1974. - 224 с.