Механика Гамильтона

Гамильтоновых механика - одна из формулировок законов механики, в целом аналогичное законам Ньютона, но удобное для обобщений, использования в статистической физике и для перехода к квантовой механики.


1. Функция Гамильтона

Функция Гамильтона \ Mathcal {H} (q_i, p_i, t) \, определяется через обобщенные координаты q_i \, и обобщенные импульсы p_i \, исходя из функции Лагранжа \ Mathcal {L} (q_i, \ dot {q} _i, t) \, следующим образом.

Обобщенные импульсы определяются как

p_i = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q} _i} .


Функция Гамильтона определяется согласно

\ Mathcal {H} = \ sum_i \ dot {q} _i \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q} _i} - \ mathcal {L} .

После этого все обобщенные скорости \ Dot {q} _i d \ Mathcal {H} выражаются через обобщенные импульсы и координаты.

По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы.

В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил

\ Mathcal {H} = T + V \, ,

есть функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не из-за скорости.


2. Канонические уравнения Гамильтона

Уравнение эволюции динамической системы записываются в гамильтоновых механике в виде

\ Dot {p} _i = - \ frac {\ partial \ mathcal {H}} {\ partial q_i} ,
\ Dot {q} _i = \ frac {\ partial \ mathcal {H}} {\ partial p_i} .

Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы со временем в том смысле, что зная значения обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая эту систему уравнений.


3. Практические использования

3.1. Функция Гамильтона для заряда в электромагнитном поле

Всего сила Лоренца не является потенциальной силой, поскольку зависит от скорости движения заряда. Однако ее можно включить в гамильтоновых механику записав функцию Гамильтона заряженной частицы в следующей форме (гауссовой система единиц):

\ Mathcal {H} = \ frac {(\ mathbf {p} - e \ mathbf {A} / c) ^ 2} {2m} + e \ varphi

где e - Заряд частицы, \ Varphi - электростатический потенциал, \ Mathbf {A} - векторный потенциал.

В релятивистском случае:

\ Mathcal {H} = c \ sqrt {m ^ 2c ^ 2 + (\ mathbf {p} - e \ mathbf {A} / c) ^ 2} + e \ varphi .

3.2. Функция Гамильтона в теории относительности

Функцию Гамильтона в релятивистском случае можно получить путем стандартной процедуры, зная функцию Лагранжа \ Mathcal {L} (См. "Механику" Ландау):

\ Mathcal {H} = \ mathbf {v} \ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {v}} - \ mathcal {L} = \ frac {mc ^ 2} {\ sqrt {1 - \ frac { v ^ 2} {c ^ 2}}}

Как видно, ее выражение полностью совпадает с выражением для потенциальной энергии релятивистской частицы, и не зависит в явной форме от импульса. Зная релятивистский импульс, это выражение можно переписать в виде квадратичной формы:

\ Mathcal {H} ^ 2 = c ^ 2 (p ^ 2 + m ^ 2c ^ 2) ,

из которой и получаем общепризнанный выражение для функции Гамильтона:

\ Mathcal {H} = c \ sqrt {p ^ 2 + mc ^ 2} .

Это выражение для функции Гамильтона широко используется в классической и квантовой механике.


3.3. Использование в квантовой механике

В квантовой механике оператор энергии \ Hat {H} строится по классической функции Гамильтона заменой обобщенных импульсов p_i на операторы импульса -I \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial q_i} , Где \ Hbar - возведена постоянная Планка. Такой оператор называется гамильтонианом, а процедура перехода от функции Гамильтона к гамильтониана называется процедурой квантования.

Гамильтониан является главным оператором в квантовой механике, поскольку входит в главное уравнение квантовой механики - уравнения Шредингера.


3.4. Механический осциллятор

В случае классического механического осциллятора (без трения) функция Гамильтона имеет следующий вид:

\ Mathcal {H} (x, p, t) = \ frac {p ^ 2} {2m} + \ frac {kx ^ 2} {2} = \ frac {m \ dot x ^ 2} {2} + \ frac {kx ^ 2} {2}

где k -коэффициент жесткости, а m - масса тела.

Первое дифференциальное уравнение Гамильтона будет:

\ Frac {dx} {dt} = \ frac {\ partial \ mathcal {H}} {\ partial p} = \ frac {p} {m} ,

Второе дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид:

\ Frac {dp} {dt} = - \ frac {\ partial \ mathcal {H}} {\ partial x} =-kx ,

Отсюда можно получить уравнение движения:

m \ ddot x + kx = 0 .

Можно привести значения "действия" на промежутке одного периода колебаний:

S = - \ int_ {0} ^ {T} \ mathcal {H} (x, p, t) \, dt = \ frac {1} {2} ma ^ 2 \ omega ^ 2T,

где a - амплитуда колебаний, \ Omega = \ sqrt {k / m} - циклическая частота, а T = 2 \ pi / \ omega - период.


3.5. Электрический осциллятор

Для классического LC - контура функция Гамильтона имеет вид:

\ Mathcal {H} (q, p_M, t) = \ frac {p_M ^ 2} {2L} + \ frac {q ^ 2} {2C}

где p_M = L \ dot q - "Магнитный импульс" (фактически - магнитный поток).

Можно привести значения "действия" на промежутке одного периода колебаний:

S = - \ int_ {0} ^ {T} \ mathcal {H} (x, p_M, t) \, dt = \ frac {1} {2} Lq_0 ^ 2 \ omega ^ 2T,

где q_0 - амплитудное значение заряда, \ Omega = \ sqrt {1/LC} - циклическая частота, а T = 2 \ pi / \ omega - \ период колебаний.


См.. также

Источники

  • Ежов С. М., Макарец М.В., Романенко В. Классическая механика. - К. : ИПЦ "Киевский университет", 2008. - 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретическая механика. - К. : Высшая школа, 1975. - 516 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2007. - Т. 1. - 224 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2006. - Т. 2. - 536 с.
  • тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. - М. : Наука, 1974. - 224 с.