Механика Лагранжа

План:

1 Формулировка
- 1.1 Функция Лагранжа
- 1.2 Уравнение Эйлера-Лагранжа
2 Примеры использования

Введение

Механика Лагранжа - один из возможных формулировок классической механики, аналогичное по своей сути законам Ньютона.

В физике механика в формулировке Лагранжа оперирует с обобщенными координатами и скоростями и определяет законы эволюции механической системы, опираясь на принцип наименьшего действия.

Механика в формулировке Лагранжа вполне аналогична ньютоновский и выводится из него. Одновременно она является удобной при рассмотрении систем с связями. Например, при изучении колебаний маятника удобно записывать уравнения движения через угол отклонения от вертикали. Формализм Лагранжа позволяет простым образом получить и такие уравнения движения.

1. Формулировка

1.1. Функция Лагранжа

Для описания физической системы вводятся обобщенные координаты q_i и соответствующие обобщенные скорости $\ Dot {q} _i$ . Функция Лагранжа $\ Mathcal {L} (q_i, \ dot {q} _i)$ определяется как

$\ Mathcal {L} = T - U$

где и - кинетическая и потенциальная энергия системы, соответственно.

1.2. Уравнение Эйлера-Лагранжа

Уравнения движения записываются, как

$\ Frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q_i}} - \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial q_i} = 0$

Эти уравнения, которые называются уравнениями Эйлера-Лагранжа, выводятся из принципа наименьшего действия.

В случае, когда в механической системе действуют непотенциальные силы уравнение движения принимает вид

$\ Frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q_i}} - \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial q_i} = Q_i ^ \ prime$ ,

где $Q_i ^ {\ prime}$ - Обобщенная непотенциальные сила.

2. Примеры использования

2.1. Механический осциллятор

В случае классического одномерного механического осциллятора (без трения) функция Лагранжа имеет следующий вид:

$\ Mathcal {L} (x, \ dot x, t) = \ frac {1} {2} m \ dot x ^ 2 - \ frac {1} {2} kx ^ 2$

k - коэффициент упругости.

Уравнение Лагранжа принимает вид:

$\ Frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial {\ dot x}} - \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial x} = m \ ddot x + kx = 0$

есть такой же, как и в случае стандартиного подхода без использования функции Лагранжа.

2.2. Электрический осциллятор

В случае классического электрического осциллятора (без потерь) функция Лагранжа имеет следующий вид:

$\ Mathcal {L} (q, \ dot q, t) = \ frac {1} {2} L_0 \ dot q ^ 2 - \ frac {1} {2C_0} q ^ 2$

L_0 - индуктивность и C_0 - емкость, LC-контура, а q - электрический заряд.

Уравнение Лагранжа принимает вид:

$\ Frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial {\ dot q}} - \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial q} = L_0 \ ddot q + \ frac {1} {C_0} q = 0$

есть такой же, как и в случае подхода, который не использует функцию Лагранжа.

2.3. Релятивистская механика

Функция Лагранжа в случае релятивистского движения свободной частицы с массой имеет вид

$\ Mathcal {L} =-mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}$

где c - скорость света, а v - скорость частицы.

См.. также

Источники

Ежов С. М., Макарец М. В., Романенко А. В. Классическая механика. - М.: ИПЦ "Киевский университет", 2008. - 480 с.
Федорченко А. М. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1975. - 516 с.
Арнольд В. И. Математические методы Классической механики. - М.: Наука, 1989. - 472 с.
Голдстейн Г. Классическая механика. - М.: Наука, 1975. - 416 с.
Лагранж Л. Аналитическая механика. - М.: ГИТТЛ, 1950. - Т. 1, 2. - 1036 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Физматлит, 2007. - 224 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Физматлит, 2006. - 536 с.
Паули В. Теория относительности. - М.: Наука, 1991. - 328 с.