Надо Знать

добавить знаний



Многочлен



План:


Введение

В переменной называется выражение вида

\ C_0 + c_1 x + \ ldots + c_n x ^ n,

где c_i являются постоянными коэффициентами ( константами), а x - Переменная.

Например, 12 + 3.1 x + 2 x ^ 6, и 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3, является многочленами, но {1 \ over x ^ 2 + 1} и {\ Sqrt {x ^ 2 + 1}} не является многочленами.

Многочленом от нескольких переменных называется конечное сумма, в которой каждый из слагаемых является произведением конечного числа целых степеней переменных и константы:

c_0 + c_1 x y ^ 2 + c_2 z ^ 3 + c_3 x y z + \ ldots,

Многочлены является одним из важнейших классов элементарных функций.


1. Связанные сроки

В многочлене c_0 + c_1 x + \ ldots + c_n x ^ n слагаемые c_i x ^ i называются его членами. Если c_n \ ne 0 , То c_n x ^ n называется старшим членом, а его степень n степенью многочлена. Степень многочлена f (x) сказывается \ Deg (f) . Член нулевого степени c_0 называется свободным членом.

Еще нулевой многочлен f (x) = 0 (Иногда пишут f (x) \ equiv 0 , Чтобы подчеркнуть, что это не уравнение, а тождество), который не имеет ни одного члена, поэтому определение степени многочлена к нему применить нельзя. Для удобства считают, что степень нулевого многочлена равна минус бесконечности, - \ Infty .

Многочлен нулевого степени называется константой, первой степени - линейным, второй степени - квадратичным, третьей степени - кубическим. Многочлены степени больше нуля мы будем называть неконстантнимы или нетривиальными.

Многочлен с одним членом называется одночлен, с двумя членами - двучлен, с тремя - трехчлена.

Например, x ^ 3 + 2 x + 5 - Кубический трехчлен с членами x ^ 3 , 2 x и 5 , Причем x ^ 3 - Это старший член, а 5 - Свободный член.


2. Операции над многочленами

  • Сумма многочленов является многочленом. Степень суммы многочленов меньше или равна максимуму степеней слагаемых.
\ Sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i + \ sum_ {i = 0} ^ m b_i x ^ i = \ sum_ {i = 0} ^ {\ max \ {n, m \}} (a_i + b_i) x ^ i
  • Произведение многочленов является многочленом. Степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей.
\ Left (\ sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_ {i = 0} ^ m b_i x ^ i \ right) = \ sum_ {k = 0} ^ { n + m} \ left (\ sum_ {i + j = k} a_i b_j \ right) x ^ k
  • Многочлены можно делить с остатком: если g (x) - Ненулевой многочлен, то любой многочлен f (x) можно представить в виде
f (x) = q (x) g (x) + r (x),

где q (x) и r (x) - Многочлены, причем \ Deg (r) <\ deg (g) .


3. Корень многочлена

Основная статья Корень многочлена

Многочлен можно рассматривать как функцию от переменной x . Число a называется корнем многочлена f (x) , Если оно является корнем соответствующей функции, т.е. если f (a) = 0 . Это равносильно условию "Многочлен f (x) делится на двучлен x-a нацело "(см. теорему Безу). Если f (x) делится на (X-a) ^ 2 нацело, то корень a называется кратным; если не делится, то простым. кратность корня называется наибольшее число k , Для которого f (x) делится на (X-a) ^ k нацело (таким образом, простые корни - это корни кратности 1).


4. Разложение многочлена на несократимой множители

Если неконстантний многочлен f (x) можно представить в виде f (x) = g (x) h (x) , Где g (x) и h (x) - Многочлены степени не ниже первого, то говорят, что f (x) разложено на нетривиальные множители g (x) , h (x) . Если же такого представления не существует, многочлен называют несократимой. Понятно, что поскольку

\ Deg (f) = \ deg (g) + \ deg (h) , \ Deg (g)> 0 и \ Deg (h)> 0 ,

то

\ Deg (g) <\ deg (f) и \ Deg (h) <\ deg (f) .

Если какой-то из множителей g (x) , h (x) можно разложить на нетривиальные множители, то мы продолжим процесс разложения пока это возможно. Поскольку на каждом шагу степень множителей уменьшается, этот процесс конечным. Так что в результате мы получим представление f (x) в виде

f (x) = f_1 (x) f_2 (x) \ ldots f_m (x),

где многочлены f_i (x) является несократимой. Такое представление однозначно, с точностью до перестановки множителей.


5. Основная теорема алгебры

Основная статья Основная теорема алгебры

Комплексный многочлен степени n> 0 имеет ровно nкомплексных корней, с учетом кратности.

Иначе говоря, его можно разложить на n линейных множителей:

f (z) = c_n (z-z_1) (z-z_2) \ ldots (z-z_n), \ quad c_n, z_i \ in \ C

Таким образом, среди многочленов с комплексными коэффициентами несократимой есть только линейные многочлены.


См.. также

Литература


См.. также


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам