Надо Знать![]() | МножествоПлан:
ВведениеМножество - одно из основных понятий современной математики. Строго оно не определяется, но может быть дано интуитивное определение множества как совокупности определенных и различных объектов произвольной природы, которая рассматривается как одно целое. Объекты, составляющие множество, называются ее элементами. Например, можно говорить о множестве всех книг в определенной библиотеке, множество букв украинского алфавита или о множестве всех корней определенного уравнения подобное. 1. Основные понятияМножество считается выраженной, если о каждом объекте, который рассматривается, можно говорить, что он либо принадлежит, либо не принадлежит множеству. Идентичные (т.е. одинаковые) объекты во множестве не допускаются. На письме множества обозначаются, как правило, большими буквами. Для некоторых множеств в математике употребляются стали обозначения. Например:
Пустая подмножество B данного множества А, отличная от множества А, называется правильной части (или собственного подмножества или точной подмножества) множества А. Для обозначения того факта, что B является подмножеством А, которая не совпадает с А, используют отметки B ⊂ A, A ⊃ B. Знаки ⊆, ⊇, ⊂, ⊃ называются знаками включения.
2. Способы задания множеств
Пусть множество X состоит из элементов a, b, c, ..., k. Для определения этого факта используется обозначение:
Например, множество натуральных чисел ℕ определяется как:
В математических задачах, как правило, рассматривают элементы некоторой вполне обозначенной множества A. При этом необходимые элементы выделяют по некоторой их свойством (или указывают порождая процедуру) P, такой что каждый элемент x ∈ A или имеет свойство P (записывается P (x)), или не имеет ее. С помощью свойства P выделим множество всех тех элементов, которые имеют свойство P. Это множество будем обозначать как {x ∈ A | P (x)} = {x | P (x)}. Задание множества указанием ее свойства (или порождая предикатом) следует осуществлять осторожно. Например, множество Y = {X | X ∉ X} (множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента) ведет к парадокса Рассела и некорректна в аксиоматической теории множеств. 3. Операции с множествами3.1. Дополнения и разница множествПусть задана некоторая множество U ( универсальное множество или универсум). Если A ⊂ U, то элементы множества U, не принадлежащих А, называются дополнением множества А до множества U и обозначают как C U A или U C A. Если A ⊂ U, B ⊂ U, то дополнение множества B к А называют разницей множеств А и B (именно в таком порядке) и обозначают А \ B или А-B, то A \ B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Примеры:
Некоторые свойства операции дополнения:
3.2. Объединение множествОбъединением множеств А и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A, B:
Примеры:
Некоторые свойства операции объединения:
3.3. Пересечение множествСечением множеств А и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А, B:
Говорят, что множества не пересекаются, если A ∩ B = ∅ Примеры:
Некоторые свойства сечения:
3.4. Симметричная разность множествСимметричная разность множеств A и B является такое множество элементов, содержащихся в одной из этих двух множеств, но не в обоих. Сказывается как A Δ B. Например, симметрическая разность множеств {1,2,3} и {3,4} является {1,2,4}. Некоторые свойства симметрической разности:
4. Алгебра множествОперации ∩, ∪ и дополнения множества образуют алгебру с определенными свойствами. 5. Мощность множестваПрактически все из рассмотренных выше множеств имеет определенное количество элементов. Например, множество А из раздела "Способы задания множеств" имеет 4 элемента, множество B - три элемента. Пустое множество имеет ноль элементов. Существуют множества, которые имеют бесконечное число элементов. Такова множество ℕ всех натуральных чисел. Понятие мощности множеств становится важным в контексте установления отношений между множествами. Понятно, например, взаимооднозначного отношения между множествами А и B можно установить только когда количество их элементов совпадает. Особенно важна проблема сравнения мощности является для множеств с бесконечным количеством элементов. Оказывается, что мощности таких множеств могут быть не равными, и это приводит к некоторым интересным последствиям. 6. Декартово произведение множествДекартово произведение (прямой декартово произведение) множеств X и Y - это множество всех возможных упорядоченный пар или кортежей, первыми компонентами которых являются элементы множества X, а вторыми - элементы множества Y. Декартово произведение множеств X и Y обозначается как X Y: X Y = {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y} Здесь упорядоченная пара (x, y) элементов x, y есть множество {{x}, {x, y}}, которая имеет такое свойство, что (x, y) ≠ (y, x). См.. также
код для вставки Данный текст может содержать ошибки. скачать |