Множество

Множество - одно из основных понятий современной математики. Строго оно не определяется, но может быть дано интуитивное определение множества как совокупности определенных и различных объектов произвольной природы, которая рассматривается как одно целое. Объекты, составляющие множество, называются ее элементами. Например, можно говорить о множестве всех книг в определенной библиотеке, множество букв украинского алфавита или о множестве всех корней определенного уравнения подобное.

1. Основные понятия

Множество считается выраженной, если о каждом объекте, который рассматривается, можно говорить, что он либо принадлежит, либо не принадлежит множеству. Идентичные (т.е. одинаковые) объекты во множестве не допускаются.

На письме множества обозначаются, как правило, большими буквами. Для некоторых множеств в математике употребляются стали обозначения. Например:

• ℕ - множество натуральных чисел,
• ℤ - множество целых,
• ℚ - множество рациональных чисел,
• ℝ - множество действительных чисел,
• ℂ - множество комплексных чисел.

• Пусть А - множество. Тот факт, что элемент x входит в множество А, либо принадлежит множеству А, обозначается как x ∈ A. Тот факт, что элемент x не входит в множество А, обозначается x ∉ A. Знак ∈ называется знаком принадлежности. Он является стилизацией первой буквы греческого слова εστι (быть).

• Множество B, все элементы которой принадлежат множеству А, называют подмножеством множества A, или частью множества А и обозначают этот факт символами B ⊆ A, A ⊇ B.

Пустая подмножество B данного множества А, отличная от множества А, называется правильной части (или собственного подмножества или точной подмножества) множества А. Для обозначения того факта, что B является подмножеством А, которая не совпадает с А, используют отметки B ⊂ A, A ⊃ B. Знаки ⊆, ⊇, ⊂, ⊃ называются знаками включения.

Подробнее смотри Подмножество.

• Два множества А и B равны (обозначается A = B), если они имеют одинаковые элементы.

• В теории множеств выделяют также пустую множество, т.е. множество, в которую не входит ни один элемент. Такая множество обозначается как ∅. Пустое множество является подмножеством любого множества. Также всегда A ⊆ A, естественно, ведь каждый элемент множества А принадлежит этому множеству.

Подробнее смотри Пустое множество.

2. Способы задания множеств

• Задание множества с помощью перечня ее элементов.

Пусть множество X состоит из элементов a, b, c, ..., k. Для определения этого факта используется обозначение:

X = {a, b, c ... , K}

A = {4, 2, 1, 3}

B = {красный, белый, голубой}

Например, множество натуральных чисел ℕ определяется как:

ℕ = {1, 2, 3, ... , N, ...}

• Задание множества указанием свойства ее элементов.

В математических задачах, как правило, рассматривают элементы некоторой вполне обозначенной множества A. При этом необходимые элементы выделяют по некоторой их свойством (или указывают порождая процедуру) P, такой что каждый элемент x ∈ A или имеет свойство P (записывается P (x)), или не имеет ее. С помощью свойства P выделим множество всех тех элементов, которые имеют свойство P. Это множество будем обозначать как {x ∈ A | P (x)} = {x | P (x)}. Задание множества указанием ее свойства (или порождая предикатом) следует осуществлять осторожно. Например, множество Y = {X | X ∉ X} (множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента) ведет к парадокса Рассела и некорректна в аксиоматической теории множеств.

3. Операции с множествами

3.1. Дополнения и разница множеств

Пусть задана некоторая множество U ( универсальное множество или универсум). Если A ⊂ U, то элементы множества U, не принадлежащих А, называются дополнением множества А до множества U и обозначают как C _U A или U ^C A. Если A ⊂ U, B ⊂ U, то дополнение множества B к А называют разницей множеств А и B (именно в таком порядке) и обозначают А \ B или А-B, то A \ B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Разница множеств A и B

Дополнение множества A до U

Примечание: Здесь символ ∧ означает требование одновременной справедливости обеих частей утверждения (логическая связка "И", конъюнкция). Парный с ним символ ∨ означает требование справедливости минимум одного из двух утверждений (или обоих одновременно) ( дизъюнкция, логическое ИЛИ.

Примеры:

• {1, 2} - {красный, белый} = {1, 2}
• {1, 2, зеленый} - {красный, белый, зеленый} = {1, 2}
• {1, 2} - {1, 2} = ∅
• Если U - множество целых, то доповлення ее подмножества A всех четных чисел есть подмножество Во всех нечетных чисел.

Некоторые свойства операции дополнения:

• A ∪ A '= U
• A ∩ A '= ∅
• (A ')' = A
• A - B = A ∩ B '

3.2. Объединение множеств

Объединение множеств A и B

Объединением множеств А и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A, B:

• A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ A ∈ B}.

Примеры:

• {1, 2} ∪ {красный, белый} = {1, 2, красный, белый}
• {1, 2, зеленый} ∪ {красный, белый, зеленый} = {1, 2, красный, белый, зеленый}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Некоторые свойства операции объединения:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ⊆ A ∪ B
• A ∪ A = A
• A ∪ ∅ = A

3.3. Пересечение множеств

Пересечение множеств A и B

Сечением множеств А и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А, B:

• A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ A ∈ B}.

Говорят, что множества не пересекаются, если A ∩ B = ∅

Примеры:

• {1, 2} ∩ {красный, белый} = ∅
• {1, 2, зеленый} ∩ {красный, белый, зеленый} = {зеленый}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Некоторые свойства сечения:

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ B ⊆ A
• A ∩ A = A
• A ∩ ∅ = ∅

3.4. Симметричная разность множеств

Симметричная разность множеств A и B является такое множество элементов, содержащихся в одной из этих двух множеств, но не в обоих. Сказывается как A Δ B.

Симметричная разность A Δ B

Например, симметрическая разность множеств {1,2,3} и {3,4} является {1,2,4}.

Некоторые свойства симметрической разности:

A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)

A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

4. Алгебра множеств

Операции ∩, ∪ и дополнения множества образуют алгебру с определенными свойствами.

5. Мощность множества

Практически все из рассмотренных выше множеств имеет определенное количество элементов. Например, множество А из раздела "Способы задания множеств" имеет 4 элемента, множество B - три элемента. Пустое множество имеет ноль элементов. Существуют множества, которые имеют бесконечное число элементов. Такова множество ℕ всех натуральных чисел. Понятие мощности множеств становится важным в контексте установления отношений между множествами. Понятно, например, взаимооднозначного отношения между множествами А и B можно установить только когда количество их элементов совпадает. Особенно важна проблема сравнения мощности является для множеств с бесконечным количеством элементов. Оказывается, что мощности таких множеств могут быть не равными, и это приводит к некоторым интересным последствиям.

6. Декартово произведение множеств

Декартово произведение (прямой декартово произведение) множеств X и Y - это множество всех возможных упорядоченный пар или кортежей, первыми компонентами которых являются элементы множества X, а вторыми - элементы множества Y.

Декартово произведение множеств X и Y обозначается как X Y: X Y = {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y}

Здесь упорядоченная пара (x, y) элементов x, y есть множество {{x}, {x, y}}, которая имеет такое свойство, что (x, y) ≠ (y, x).

См.. также

• Теория множеств :
  • Интуитивная теория множеств
  • Аксиоматическая теория множеств
• Алгебра множеств
• Операции с множествами:
  • Пересечение множеств
  • Объединение множеств
  • Разница множеств
  • Симметричная разность множеств
  • Декартово произведение множеств
• Свойства множеств
  • Мощность множества
  • Зличеннисть множеств
  • Конечность множеств
• Соответствия между множествами
  • Соответствие между множествами
  • Отношение
  • Отображение
• Парадоксы теории множеств
  • Парадокс Рассела
  • Таблица математических символов