Момент инерции

Момент инерции (единица измерения в СИ [кг м ?]) - в физике является мерой инерции вращательного движения, аналогично массе для поступательного.

В общем случае, значение момента инерции объекта зависит от его формы и распределения массы в объеме : чем больше массы сконцентрировано дальше центра масс тела, тем больше его момент инерции. Также его значение зависит от выбранной оси вращения.


1. Математическое определение

Твердое тело можно рассматривать как систему из бесконечного количества материальных точек, каждая с массой m_i . Если расстояния от каждой точки до оси вращения равны r_i , То момент инерции тела к выбранной оси определяется как:

I = \ sum_i m_i r_i ^ 2

В условиях непрерывного распределения массы в теле, нужен переход к интегральной формы закона:

I = \ int r ^ 2 \, dm \, ​​\!

где элемент массы dm \, ​​\! определяется с помощью пространственного распределения плотности \ Rho \, \! .

dm = \ rho dV \, \!

2. Тензор инерции

В общем случае вращения твердого тела произвольной формы сложнее. Тело характеризуется тензором второго ранга

I_ {\ alpha \ beta} = \ sum_i m_i r_ \ alpha r_ \ beta,

где индексы α и β пробегают значения координат x, y, z.

Тензор инерции симметричный

I_ {\ alpha \ beta} = I_ {\ beta \ alpha} .

Как и для любого другого тензора второго ранга, его можно упростить, перейдя к системе координат, в которой он диагональную форму (главной системы координат). Оси главной системы координат называют главными осями инерции.


3. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела относительно этой оси. Согласно теоремой Штейнера (теоремой Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр массы тела параллельно оси, рассматривается, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

J = J_c + md ^ 2 \, \!


4. Момент количества движения

Момент импульса тела при вращении зависит от вектора угловой скорости и тензора инерциии

L_ \ alpha = \ sum_ \ beta I_ {\ beta \ alpha} \ omega_ {\ alpha}.

В главной системе координат

\ Begin {matrix} L_x = I_x \ omega_x; & L_y = I_y \ omega_y; & L_z = I_z \ omega_z \ end {matrix} .

5. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения тела задается формулой

T = \ frac {1} {2} \ sum_ {\ alpha \ beta} I_ {\ alpha \ beta} \ omega_ \ alpha \ omega_ \ beta.

В главной системе координат

T = \ frac {1} {2} (I_x \ omega_x ^ 2 + I_y \ omega_y ^ 2 + I_z \ omega_z ^ 2).

6. Основное уравнение динамики вращательного движения

По аналогии с вторым законом Ньютона для поступательного движения, можно сформулировать уравнение вращательного движения, где внешним силам, которые действуют на тело, отвечают моменты сил, массе - момент инерции, а ускорению - угловое ускорение.

При одноосном вращении

\ Sum_i \ mathbf {M_i} = I \ frac {d \ vec {\ omega}} {dt} = I \ vec {\ epsilon}

Здесь M i - моменты внешних сил, \ Mathbf {\ omega} - Угловая скорость, \ Mathbf {\ epsilon} - Угловое ускорение.


См.. также

Список моментов инерции

Источники

  • Ежов С. М., Макарец М.В., Романенко В. Классическая механика. - К. : ИПЦ "Киевский университет", 2008. - 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретическая механика. - К. : Высшая школа, 1975. - 516 с.