Обобщенный импульс

Обобщенный импульс - физическое переменная, которая определяется для каждой обобщенной координаты механической системы, и является одновременно мере скорости изменения этой координаты и ее инерционности.

Обозначается обычно латинской буквой p.


1. Математическое определение

Для механической системы, описываемой функцией Лагранжа \ Mathcal {L} (q_i, \ dot {q} _i, t) , Где q_i обобщенные координаты, а \ Dot {q} _i - Обобщенные скорости, обобщенные импульсы p_i для каждой из обобщенных координат определяются соотношением:

p_i = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q} _i} .

2. Примеры

2.1. Нерелятивистская материальная точка

Например, для материальной точки с массой m, не взаимодействует с другими телами, функция Лагранжа равна кинетической энергии и имеет вид

\ Mathcal {L} = \ frac {m \ mathbf {v} ^ 2} {2} = \ frac {m \ dot {\ mathbf {r}} ^ 2} {2} .

Обобщенный импульс

\ Mathbf {p} = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {\ mathbf {r}}} = m \ dot {\ mathbf {r}} = m \ mathbf {v} ,

т.е. совпадает с обычным импульсом. Это определение остается справедливым и для случая взаимодействия, которая не зависит от скорости материальной точки.


2.2. Вращения

При вращении абсолютно твердого тела вокруг оси, обобщенной координатой является угол поворота \ Varphi , Обобщенной скоростью - угловая скорость \ Omega , А кинетическая энергия равна

T = \ frac {I \ omega ^ 2} {2} ,

где I - момент инерции.

Обобщенный импульс в таком случае равна

p = I \ omega \,

3. Смотрите также

Источники

  • Федорченко А.М. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1975., 516 с.