Надо Знать

добавить знаний



Оператор углового момента



План:


Введение

Оператор момента количества движения или углового момента - это квантово-механический аналог классического понятия момента количества движения.


1. Построение и определение

Для построения квантово-механического оператора углового момента частицы выходят из классического выражения

\ Mathbf {L} = [\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}] ,

где \ Mathbf {r} - Радиус вектор частицы, а \ Mathbf {p} - Ее импульс. При перходе квантовой механики производят замену импульса на квантовомеханичий оператор импульса -I \ hbar \ nabla . Тогда компоненты оператора количества движения имеют следующую форму

\ Hat {L} _x =-i \ hbar \ left (y \ frac {\ partial} {\ partial z} - z \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right) ,
\ Hat {L} _y =-i \ hbar \ left (z \ frac {\ partial} {\ partial z} - x \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right) ,
\ Hat {L} _z =-i \ hbar \ left (x \ frac {\ partial} {\ partial y} - y \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right) .

Определенные таким образом операторы являются эрмитовых.


2. Коммутационные соотношения

Компоненты оператора углового момента удовлетворяют следующим коммутационным соотношением

\ Left [\ hat {L} _x, \ hat {L} _y \ right] = i \ hbar \ hat {L} _z ,
\ Left [\ hat {L} _y, \ hat {L} _z \ right] = i \ hbar \ hat {L} _x ,
\ Left [\ hat {L} _z, \ hat {L} _x \ right] = i \ hbar \ hat {L} _y .

Поскольку они не коммутируют между собой, то по принципом неопределенности не могут быть измерены одновременно. Если известно точное значение одного из них, то неопределенность двух других будет абсолютной.


3. Собственные функции и собственные значения

Учитывая некомутативнисть компонент, они не имеют общих собственных фунций. В сферической системе координат найпростистиший выглядит компонента L_z , Поэтому в основном ищут ее собственные функции.

Собственными функциями компоненты L_z являются комплексные экспоненты вида e ^ {im \ varphi} , Где m - целое число, которое пробегает значения от - \ Infty к \ Infty .

\ Hat {L} _z e ^ {im \ varphi} =-i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial \ varphi} e ^ {im \ varphi} = \ hbar me ^ {im \ varphi} .

Собственные значения оператора \ Hat {L} _z равны \ Hbar m . Число m называется магнитным квантовым числом. Такое название обусловлено тем, что впервые магнитное квантовое число ввели для интерпретации расщепление спектральных линий в магнитном поле ( Зеемананивське расщепления).


4. Оператор квадрата углового момента

Важное значение в квантовой механике занимает оператор квадрата углового момента

\ Hat {\ mathbf {L}} ^ 2 = \ hat {L} _x ^ 2 + \ hat {L} _y ^ 2 + \ hat {L} _z ^ 2 .

В сферические системе координат он имеет вид

\ Hat {\ mathbf {L}} ^ 2 = \ hbar ^ 2 \ left (\ frac {1} {\ sin \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ sin \ theta \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ theta} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ varphi ^ 2} \ right) .

Этот оператор коммутирует с любой из компонент оператора углового момента.


5. Собственные функции и собственные значения оператора квадрата углового момента

Благодаря коммутативности оператора квадрата углового момента \ Hat {\ mathbf {L}} ^ 2 с \ Hat {L} _z , Эти два оператора имеют общую систему собственных функций. Квадрат углового момента может быть определенным одновременно с z-ной компонентой.

Собственными функциями оператора квадрата углового момента является сферические гармоники Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) .

Собственные значения оператора квадрата углового момента равны \ Hbar ^ 2 l (l +1) , Где l - целое число, которое пробегает значения от нуля до бесконечности. Это квантовое число называется орбитальным квантовым числом.

\ Hat {\ mathbf {L}} ^ 2 Y (\ theta, \ varphi) = \ hbar ^ 2 l (l +1) Y (\ theta, \ varphi) .

Из теории сферических гармоник известно, что магнитное кватове число m по абсолютной величине не может быть больше l. Поэтому каждому орбитальном квантовому числу l соответствует 2l +1 различных магнитных квантовых числа: m =-l,-l +1 ... l-1, l.


См.. также

Источники

  • Вакарчук И. А. Квантовая механика. - 4-е издание, дополненное. - Л. : ЛНУ им. Ивана Франко, 2012. - 872 с.
  • Юхновский И. Г. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.
  • Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. - М. : Мир, 1984. - Т. 1. - 302 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. - М. : Наука, 1976. - 664 с.
  • Боума А. Квантовая механика: основы и приложения. - М. : Мир, 1990. - 720 с.
  • Варшалович Д.А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. - Л. : Наука, 1975. - 441 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. - М. : Мир, 1993. - 352 с.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам