Описанное круг

Circumscribed Polygon.svg

Описанное круг многоугольника - круг, содержащий все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит на точке пересечения серединных перпендикуляров его сторон. Отсюда следует, что если вокруг n-угольника построено описанное круг, то все срединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре круга). Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность-это не правильно!


1. Треугольник

Окружность, описанная вокруг треугольника
  • В остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, в тупоугольный - вне треугольника, в прямоугольного - на середине гипотенузы.
  • Остроугольный

  • Тупоугольный

  • Прямоугольный

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Поскольку точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, следовательно, является описанным около треугольника ABC.

  • 3 из 4 кругов, описанных относительно срединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и является центром описанной окружности основного треугольника.
  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами на серединах сторон данного треугольника. Ортоцентр треугольника - это точка пересечения высот треугольника или их продолжений.
  • Расстояние от вершины треугольника к ортоцентром вдвое больше, чем расстояние от центра описанго круга до противоположной стороны.
  • Радиус описанной окружности можно найти по формулам:
R = \ frac {abc} {4S}
R = \ frac {a} {2 \ sin \ alpha}
R = \ frac {abc} {\ sqrt {(a + b + c) (-a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}
Где:
a, b, c - Стороны треугольника,
\ Alpha - Угол, лежащий напротив стороны a ,
S - Площадь треугольника.
  • Положение центра описанной окружности.

Пусть ~ {\ Mathbf r} _A, {\ mathbf r} _B, {\ mathbf r} _Cрадиус-векторы вершин треугольника, ~ \ Mathbf {r} _O - Радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

~ \ Mathbf {r} _O = \ alpha_A \ mathbf {r} _A + \ alpha_B \ mathbf {r} _B + \ alpha_C \ mathbf {r} _C

где

\ Alpha_A = \ frac {a ^ 2} {8S ^ 2} (\ mathbf {r} _A-\ mathbf {r} _B, \ mathbf {r} _A-\ mathbf {r} _C) \ qquad \ alpha_B = \ frac {b ^ 2} {8S ^ 2} (\ mathbf {r} _B-\ mathbf {r} _A, \ mathbf {r} _B-\ mathbf {r} _C) \ qquad \ alpha_C = \ frac { c ^ 2} {8S ^ 2} (\ mathbf {r} _C-\ mathbf {r} _A, \ mathbf {r} _C-\ mathbf {r} _B)
  • Уравнение описанной окружности.

Пусть ~ {\ Mathbf r} _A = (x_A, y_A), {\ mathbf r} _B = (x_B, y_B), {\ mathbf r} _C = (x_C, y_C) координаты вершин треугольника в определенной декартовой системе координат на плоскости, ~ \ Mathbf {r} _O = (x_O, y_O) - Координаты центра описанной окружности. Тогда

x_O = \ frac {1} {4S} \ begin {vmatrix} x_A ^ 2 + y_A ^ 2 & y_A & 1 \ \ x_B ^ 2 + y_B ^ 2 & y_B & 1 \ \ x_C ^ 2 + y_C ^ 2 & y_C & 1 \ end {vmatrix} \ qquad y_O = - \ frac {1} {4S} \ begin {vmatrix} x_A ^ 2 + y_A ^ 2 & x_A & 1 \ \ x_B ^ 2 + y_B ^ 2 & x_B & 1 \ \ x_C ^ 2 + y_C ^ 2 & x_C & 1 \ end {vmatrix}

а уравнение описанной окружности имеет вид

\ Begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & x & y & 1 \ \ x_A ^ 2 + y_A ^ 2 & x_A & y_A & 1 \ \ x_B ^ 2 + y_B ^ 2 & x_B & y_B & 1 \ \ x_C ^ 2 + y_C ^ 2 & x_C & y_C & 1 \ end {vmatrix} = 0

Для точек ~ (X, y) , Лежащих внутри круга, определитель отрицательный, а для точек вне ее - положительный.


  • Теорема о трезубец: Если W - Точка пересечения биссектрисы угла A с описанным кругом, а I - Центр вписанной окружности то | WI | = | WB | = | WC | .
  • Формула Эйлера : Если d - Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r и R соответственно, то d ^ 2 = R ^ 2 - 2Rr .

2. Четырехугольник

Cyclic quadrilateral.svg
Рисунок теореме Птолемея

Вписанный простой (без самопересечений) четырехугольник обязательно выпуклым.

Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180 ? (π радиан).

Радиус описанной окружности правильного n -Угольника с длиной сторон a равна:

R = \ frac {a} {2 \ sin \ frac {180 ^ \ circ} {n}}

Можно описать круг вокруг:

| AC | ? | BD | = | AB | ? | CD | + | BC | ? | AD |



3. Многоугольник

Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальной, когда он вписан.

Примечания

См.. также

Литература

  • Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. - М.: МЦНМО, 2004. - С. 53-54. - ISBN 5-94057-170-0
  • Л.Е. Гендельштейн, А.П. Ершова, Наглядный справочник по геометрии, Гимназия, 1997 - ISBN 966-562-080-0.