Отрезок

План:

1 Определение
2 Отрезок числовой прямой
- 2.1 Стяжная система сегментов

Введение

Отрезок - прямая ограничена двумя точками.

1. Определение

Если $V \, \!$ векторное пространство над $\ Mathbb {R}$ или $\ Mathbb {C}$ , И $L \, \!$ это подмножество $V, \, \!$ тогда $L \, \!$ отрезок если $L \, \!$ может быть завдний как

$L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in [0,1] \}$

для некоторого вектора $\ Mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in V \, \!$ , В таком случае векторы $\ Mathbf {u}$ и $\ Mathbf {u + v}$ называются конечными точками отрезка $L. \, \!$

Иногда нам нужно различать "открытые" и "закрытые" отрезки. Тогда закрыт отрезок определяется как было указано выше, а открытый отрезок как подмножество $L \, \!$ , Параметризованных как

$L = \ {\ mathbf {u} + t \ mathbf {v} \ mid t \ in (0,1) \}$

для некоторых векторов $\ Mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in V \, \!$ .

Альтернативное определение таково: Отрезок (замкнутый) это выпуклая оболочка двух точек.

2. Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатнои) прямой (числовой отрезок, сегмент) - множество действительных чисел x ~ , Таких удовлетворяющие неравенству $a \ le x \ le b$ , Где заранее нанесенные действительные числа a ~ и b ~ (A <b) ~ называются концами ( предельными точками) отрезка. В противоположность им, другие числа x ~ , Которые удовлетворяют неравенства a <x <b ~ , Называются внутренними точками отрезка.

Отрезок обычно обозначается [A, b] :

$[A, b] = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a \ le x \ le b \}$ .

Отрезок представляет собой замкнутый промежутком.

Число $b-a \,$ называется длиной числового отрезка [A, b] .

2.1. Стяжная система сегментов

Система сегментов - бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\ {[A, b] | a, b \ in \ R \ land a <b \}$ .

Система сегментов сказывается $\ {[A_n, b_n] \} _ {n = 1} ^ {\ infty}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу ~ N сопоставлений в соответствие отрезок ~ [A_n, b_n] .

Система сегментов $\ {[A_n, b_n] \} _ {n = 1} ^ {\ infty}$ называется стяжной, если

каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
$\ Forall n \ in \ N \ colon [a_ {n +1}, b_ {n +1}] \ subseteq [a_n, b_n]$
соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
$\ Lim_ {n \ to \ infty} (b_n - a_n) = 0$

В любой стяжной системе сегментов существует Едина точка, принадлежащая всем сегментам системы.

$\ Forall \ {[a_n, b_n] \} _ {n = 1} ^ {\ infty} ~ \ exists! c \ in \ R ~ \ forall n \ in N \ colon c \ in [a_n, b_n]$

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

См.. также

В Википедии есть портал

"Математика"

Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.