A - подмножество B

Если X и Y - множества и любой элемент из X является элементом из Y, то говорят, что:

• X является подмножеством (частью) Y, обозначение - X ⊆ Y;
• Y - над множество (охватывающая множество) X, обозначение - Y ⊇ X.

Каждая множество Y является подмножеством самого себя. Подмножество Y, которая не совпадает с Y называется точной подмножеством (или правильной или собственной частью множества) Y. Если X - точная подмножество Y, то этот факт записывается как X ⊂ Y. Отношение "быть подмножеством" называется включения.

1. Варианты обозначений

Существуют две системы обозначений отношений включения Предыдущая система использует символ "⊂" для обозначения любого подмножества, и символ "⊊" для обозначения точного подмножества. Новая система использует "⊆" для обозначения любого подмножества, и "⊂" для обозначения точного подмножества.

2. Собственная подмножество

С определения прямо следует, что пустое множество должна быть подмножеством любой множества. Также, очевидно, любое множество является своей пидножиною:

.

Если , И , , То называется собственной или нетривиальной опилками.

3. Примеры

• Множество {1, 2} является точной подмножеством {1, 2, 3}.
• Множество натуральных чисел является точной подмножеством множества рациональных чисел.
• Любое множество является своей опилками, но не точной.
• Пустое множество ∅ также точной подмножеством любой множества.

4. Свойства

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Пустое множество является подмножеством всякого множества.

Доказательство: Для произвольной множества A нужно доказать, что ∅ является подмножеством A. Это равносильно тому, чтобы показать, что все елементиТ ∅ также элементами A. Но в ∅ не существует ни одного элемента.

Поясним: благодаря тому, что в ∅ нет элементов, "они" не могут быть ничьими элементами. Поэтому для доказательства обратного, ∅ не является подмножеством A, нам нужно было бы найти такой элемент ∅, который не является одновременно элементом A. Таких элементов не существует (их не существует вообще), поэтому утверждение 1 справедливо.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Если A, B и C являются множества, тогда справедливы следующие свойства отношения включения:

рефлексивность :

• A ⊆ A

антисиметричнисть :

• A ⊆ B и B ⊆ A тогда и только тогда, когда A = B

транзитивность :

• Если A ⊆ B и B ⊆ C то A ⊆ C

Это утверждение говорит о том, что множество X является алгебраической структурой, или решеткой, и если она дистрибутивная (что показано в утверждении 1) и для каждого элемента существует его дополнения, то такая структура называется булевой алгебры.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3: Если A, B и C - подмножества S, то выполняется следующее:

существование верхней границы и нижней границы:

• ? ⊆ A ⊆ S

существование связей :

• A ⊆ A ∪ B
• Если A ⊆ C и B ⊆ C то A ∪ B ⊆ C

существование сечения :

• A ∩ B ⊆ A
• Если C ⊆ A и C ⊆ B то C ⊆ A ∩ B

УТВЕРЖДЕНИЕ 4: Для любых множеств A и B, такие утверждения эквивалентны:

• A ⊆ B
• A ∩ B = A
• A ∪ B = B
• A - B = ?
• B ^C ⊆ A ^C