Надо Знать

добавить знаний



Построение с помощью циркуля и линейки



План:


Введение

Построение с помощью циркуля и линейки - раздел евклидовой геометрии, известный еще с античных времен.

В задачах на построение возможны следующие операции:

  • Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
  • С помощью циркуля нарисовать круг с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя уже построенными точками.
  • С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

При этом циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

  • Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины;
  • Циркуль может иметь какой угодно большой радиус.

1. Простой пример

Деление отрезка пополам

Задача. С помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок AB на две равные части. Один из решений показано на рисунке:

  • Циркулем строим окружность с центром в точке A радиуса AB.
  • Строим окружность с центром в точке B радиуса AB.
  • Находим точки пересечения P и Q двух построенных кругов.
  • Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q.
  • Находим точку пересечения AB и PQ. Это - искомая середина отрезка AB.

2. Правильные многоугольники


Основная статья: Теорема Гаусса - Ванцеля

Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны методы построения правильных n-угольников для n = 2 ^ k \, \! , 3 \ cdot 2 ^ k , 5 \ cdot 2 ^ k и 3 \ cdot5 \ cdot2 ^ k .

Гаусс в 1796 г. показал возможность построения правильных n-угольников при n = 2 ^ k \ cdot p_1 \ cdot \ ldots \ cdot p_m , Где p_i \, \! -Различные простые числа Ферма. В 1836 г. П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.


3. Известные задачи

  • Задача Аполлония
  • Задача Брахмагупты

3.1. Нерешенные задачи

Еще в античности были поставлены следующие три задачи на построение :

  • Трисекция угла - разбить произвольный угол на три равные части.
  • Удвоение куба - построить отрезок, является ребром куба вдвое большего объема, чем куб с данным ребром.
  • Квадратура круга - построить квадрат, равный по площади данном кругу.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимые циркулем и линейкой. Вопрос возможности построения полностью решен алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.


4. Возможные и невозможные построения

Все построения является ничем иным, как решением какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа.

В рамках вищеокреслених требований, возможны следующие постройки:

Иначе говоря, можно построить лишь числа равны арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

  • Если задано только отрезок длины 1 , То \ Sqrt [3] {2} невозможно представить в следующем виде (отсюда невозможность удвоения куба).
  • Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения на косинус угла:
    \ Cos {\ left (\ frac {2 \ pi} {17} \ right)} = - \ frac {1} {16} \; + \; \ frac {1} {16} \ sqrt {17} \; + \; \ frac {1} {16} \ sqrt {34 - 2 \ sqrt {17}} \; + \; \ frac {1} {8} \ sqrt {17 + 3 \ sqrt {17} - \ sqrt {34 - 2 \ sqrt {17}} - 2 \ sqrt {34 + 2 \ sqrt {17}}}

5. Вариации и обобщения

  • Построения с помощью одного циркуля. По теоремой Мора - Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
  • Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно реализовать только проективно-инвариантные построения. В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части или найти центр нарисованного круга. Но при наличии на плоскости заранее проведенного круга с обозначенным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе - Штейнера (англ.)), 1833.
  • Построения с помощью плоского оригами. См.. правила Худзита

6. Забавные факты

  • Узор на флаге Ирана описывается как построение с помощью циркуля и линейки, (см. [1] персидской языке).

7. Смотрите также

  • GeoGebra, Kig, KSEG - программы, позволяющие выполнять построения с помощью циркуля и линейки.

Литература


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам