Прямая

План:

1 Алгебраическое определение
- 1.1 В n-мерном пространстве
2 Обобщенное определение
3 Свойства

Введение

Прямая - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

1. Алгебраическое определение

Три графики Линин - красная и синяя имеют одинаковый наклон k, а красная и зеленая имеют одинаковый сдвиг b.

Прямая линия - алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени ( линейное уравнение):

где $a \,$ , $b \,$ , $c \,$ - Некоторые числа, причем $a \,$ или $b \,$ должно быть отлично от нуля. ^[1] Это уравнение - общее уравнение прямой. Его также называют "стандартным".

Зато, Каноническое уравнение прямой, вытекает из предыдущего имеет вид линейной функции :

Прямая (а также пара пересекающихся прямых) является вырожденным примером конического сечения.

1.1. В n-мерном пространстве

Пусть задан вектор в n-мерном Евклидовом пространстве E ^ n , $k = (k_i) \ in E ^ n$ , И $\ Alpha_1, \ dots, \ alpha_n$ - Некоторые фиксированные числа. Геометрическое место точек x = x_i пространства E ^ n , Координаты которых представлены в виде:

$x_i = k_i + \ alpha_i t, \ qquad - \ infty <t <+ \ infty, \ quad i = 1, \ dots, n$ ,

называется прямой в пространстве E ^ n проходящей через точку в "направлении" $(\ Alpha_1, \ dots, \ alpha_n)$ . ^[2]

Часть прямой, соответствует изменению параметра в некотором отрезке [A, b] называется прямолинейным отрезком а ее часть, что соответствует изменению параметра в промежутке $t \ ge a$ - Луч.

Если заданы две точки (X'_i) , (X'' _i) то уравнение прямой, проходящей через эти точки будет иметь вид:

$x_i = x'_i + (x'' _i - x'_i) t, \ qquad - \ infty <t <+ \ infty, i = 1, \ dots, n$ .

2. Обобщенное определение

Прямой в аффинном пространстве $\ Mathcal {A}$ задаваемый точкой M_0 и отличным от нуля вектором $\ Mathbf {a} \ in \ mathcal {V}$ называется множество точек , Для которых вектор $\ Overrightarrow {M_0 M}$ коллинеарный вектору $\ Mathbf {a}$ , Т.е. выполняется равенство: ^[3]

$\ Overrightarrow {M_0 M} = l \ mathbf {a}.$

Таким образом, произвольная прямая в пространстве $\ Mathcal {A}$ имеет свойства аффинной пространства размерности 1.

3. Свойства

Прямая параллельна плоскости $\ Alpha$ тогда и только тогда, когда в этой плоскости существует некоторая прямая параллельная прямой . ^[4]

Если прямая параллельная каждой из плоскостей $\ Alpha$ и $\ Beta$ пересекающихся, то она параллельна линии их пересечения. ^[4]

Если три плоскости попарно пересекаются и не имеют общей прямой, то линии их пересечения или параллельные или имеют общую точку. ^[4]

Примечания

(Постников, с. 176)
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, т. 1. - С. 264.
Постников М. М. Аналитическая геометрия. - "Наука", 1979.
↑ ^{а б в} Я. П. Понарин Элементарная Геометрия. т.2, 2006. ISBN 5-94057-223-5.

См.. также

В Википедии есть портал

"Математика"

Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.