Надо Знать

добавить знаний



Распределение вероятностей



План:


Введение

Дискретный распределение вероятностей для суммы двух игральных костей

В математике и статистике, распределение вероятностей (который имеет математически описываться функцией распределения вероятностей), ставит в соответствие каждому интервалу вероятность таким образом, что аксиомы вероятностей выполняются. Математическим языком, функция распределения вероятностей является вероятностной мерой, определенной на бореливський алгебре интервалов.

Распределение вероятностей является частным случаем общего определения вероятностной меры, которая является функцией, которая ставит в соответствие измеримым множествам из мерного пространства вероятности за аксиомами Колмогорова.

Согласно определению П. Лапласа, степени вероятности является дробь, числителем которого является число благоприятных событий, а знаменателем - число всех возможных случаев. [1]

Также, некоторые ученые обозначают распределение как вероятностную меру, индуцированную случайной величиной X на некотором интервале - вероятность множества B является P (X ^ {-1} (B)) . Однако, в этой статье рассматриваем только вероятностные меры на множестве интервалов числовой прямой.


1. Строгое определение

Любая случайная величина задается своим распределением вероятностей. Если X является случайной величиной, распределение его ставит в соответствие отрезкам [a, b] вероятность Pr [aXb], то есть вероятность, что случайная величина X примет значение из интервала [a, b]. Распределение вероятностей величины X может быть однозначно описан своей функцией распределения вероятностей F (x), которая определяется как

F (x) = \ Pr \ left [X \ le x \ right]

для всех x из R.

Распределение дискретным, если функция распределения состоит из конечного последовательности уступов, что фактически означает, что величина X является дискретной случайной величиной : она может принимать значения только из определенной конечного (или Счетное) множества. Некоторые определяет непрерывный распределение как такой, что его функция распределения непрерывной функцией, что означает, что она соответствует такой случайной величине X для которой Pr [X = x] = 0 для всех x в R. Другое определение использует термин непрерывная функция распределения только для абсолютно непрерывного распределения. В терминах функции плотности, на множестве действительных чисел определены неотъемлемый интеграл Лебега функции f удовлетворяющее условию

\ Pr \ left [a \ le X \ le b \ right] = \ int_a ^ bf (x) \, dx

для всех a и b. Очевидно, для дискретных распределений функция плотности не определена; хотя надо отметить, что для некоторых непрерывных распределений, как лестница Кантора функция плотности также не определена.

Дискретная функция распределения выражается как -

F (x) = \ Pr \ left [X \ le x \ right] = \ sum_ {x_i \ le x} p (x_i)

для i = 1, 2, ... \, \! .

Где p (x_i) \, \! является вероятностью элементарной события.

  • Распределение вероятностей суммы двух независимых случайных величин является сверткой их функций плотности.
  • Распределение вероятностей разности двух независимых случайных величин является кросс-корреляцией их функций плотности.

2. Список важных вероятностных распределений

Некоторые вероятностные распределения является очень важным в теории и практике, поэтому им дали свои названия:

2.1. Дискретные распределения

2.1.1. С конечным множеством событий

  • Распределение Бернулли, который принимает значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью q = 1 - p.
  • Распределение Радемахера ( англ. Rademacher distribution ), Который принимает значение 1 с вероятностью 1/2 и значение -1 с вероятностью 1/2.
  • Биномиальное распределение описывает количество успехов в схеме независимых испытаний Бернулли.
  • Вырожденный распределение в x 0, где X принимает значения x 0 всегда. На первый взгляд, такое распределение не выглядит вероятностным, но он удовлетворяет определению случайной величины. Это часто становится в случае, поскольку вкладывает одинаковый смысл в константы и случайные величины.
  • Дискретный равномерное распределение, где все элементы конечного множества равновероятны. Считают, что это распределение симметричной монеты, "правильного" кубика, рулетки в казино хорошо перетасованной колоды карт. Также для генерации равномерно распределенных случайных величин можно использовать меры квантовых состояний (measurements of quantum states). Все это "физические" или "механические" приборы, которые могут подвергнуться ошибок в строении или воздействия окружающей среды, поэтому равномерное распределение является только приближением к их поведению. В цифровых компьютерах для создания статистически случайного дискретного равномерного распределения используют псевдослучайные генераторы случайных чисел.
  • Гипергеометрический распределение, описывающее количество успехов в первых m из ряда с n независимых стохастических опытов вида Да / Нет в случае если известно общее число успехов.
  • Распределение Зипфа. Дискретный степенной распределение, чьим самым известным примером является описание частоты слов в английском языке.
  • Распределение Зипфа-Мандельброта, который является обобщенным распределением Зипфа.

2.1.2. С бесконечным множеством событий

Распределение Skellam
  • Распределение Скелама, распределение разности двух независимых пуассоновский случайных величин.
  • Распределение Юле-Саймона ( англ. Yule-Simon distribution )
  • Зета-распределение применяется в прикладной статистике и статистической механици, и может представлять интерес в теории чисел. Есть распределением Зипфа для бесконечного числа элементов.

2.2. Непрерывные распределения

2.2.1. Определены на замкнутом интервале

  • Бета распределение на [0,1], частным случаем которого является равномерное распределение используется для оценки вероятностей успеха.
  • Непрерывный равномерное распределение на [a, b], имеет одинаковое значение во всех точках интервала.
    • Прямоугольный распределение равномерное распределение на [-1 / 2,1 / 2].
  • Дельта функция Дирака не будучи функцией, является предельной формой многих непрерывных функций распределения. Представляет дискретный распределение сосредоточен вблизи от 0 - вырожденный распределение - но он обозначается так, будто является непрерывным.
  • Распределение Кумарасвами ( англ. Kumaraswamy distribution ) Столь же гибкий как Бета распределение, но имеет простой замкнутый вид для cdf и pdf.
  • Логарифмический распределение (непрерывный)
  • Треугольное распределение на интервале [a, b], частным случаем которого является сумма двух равномерно распределенных величин (свертка двух равномерных распределений).
  • Распределение фон Майсеса на круге.
  • Распределение фон Майсеса-Фишера - на N-мерный сфере включает распределение фон Майсеса в качестве частного случая.
  • Распределение Кента на трехмерной сфере.
  • Распределение Вигнера на полукруг играет важную роль в теории случайных матриц.

2.2.2. Определенный на пол-интервале [0, ∞)

  • Хи-распределение
  • Нецентрированным хи-распределение
  • Распределение хи-квадрат, который является суммой квадратов n независимых гауссовских случайных величин. Это частный случай Гамма-распределения.
    • Обратный распределение хи-квадрат
    • Нецентрированным распределение хи-квадрат
    • Масштабируемый обращен распределение хи-квадрат
  • Экспоненциальный распределение, описывающей время между двумя последовательными редкими случайными событиями во время процесса без последействия.
  • F-распределение, является распределением доли двух (нормализованных) хи-квадрат-распределенных случайных величин. Его используют в анализе дисперсии ( англ. analysis of variance ). (Когда доля двух хи-квадрат-распределенных величественные не нормализованный делением их на количество степеней свободы, это распределение еще называют Бета распределение второго рода).
    • Нецентрированным F-распределение
  • Гамма-распределение, описывающей время, за которое n последовательных редких событий состоятся в процессе без последействия.
    • Распределение Эрланга, что является частным случаем гамма распределения, и применяется для определения времени ожидания в системах массового обслуживания.
    • Обратный гамма-распределение
  • Полу-нормальное распределение
  • Распределение Леви
  • Лог-логистический распределение
  • Логнормальное распределение, описывающий переменные, которые могут быть смоделированы как произведение многих малых независимых положительных случайных величин.
  • Распределение Парето, или распределение "по степенному закону", что его используют в анализе финансовых данных и критической поведения (critical behavior).
  • Распределение Пирсона тип III (см. распределения Пирсона)
  • Распределение Рейли
  • Распределение Райса
  • Распределение Гамбела типа 2
  • Распределение Вальда
  • Распределение Вейбулла, чьим частном случае является экспоненциальный распределение, используют чтобы смоделировать жизненный цикл технических приборов.

2.2.3. Определены на всей действительной оси


2.3. Свертка распределений

Для любого множества независимых случайных величин функция плотности их общего распределения произведением их функций плотности.

2.3.1. Вероятностный пространство размерности больше 1


2.3.2. Матричные распределения

  • нормальный матричный распределение
  • матричный t-распределение

2.4. Примеры распределений

  • Распределение Кантора
  • Truncated distribution

3. Источники информации

  1. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей / В книге: Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - Большая Российская энциклопедия. - 1999. - С. 834 - 869.

4. Смотрите также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам