Скорость

План:

1 Мгновенная скорость
- 1.1 Среднее значение абсолютной величины скорости
2 Прямолинейный равноускоренное движение
3 Обобщенная скорость
- 3.1 Скорость при вращении по кругу
4 Теория относительности
5 Относительная скорость
6 Связь с другими физическими величинами
7 Скорость процесса
8 Сноски

Введение

Скорость - физическая величина, что соответствует отношению перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло. Скорость - величина векторная, то она должна абсолютную величину и направление.

Скорость основном обозначается буквой $\ Mathbf {v}$ (От лат. Velocitas - Скорость).

В системе СИ скорость (точнее ее абсолютная величина) измеряется в метрах за секунду - м / с. В системе СГС единицей измерения скорости является сантиметр в секунду - см / с. В повседневной жизни самой практичной единицей измерения скорости является километр за час - км / час. В некоторых областях человеческой деятельности используются специфические единицы скорости, как, например, узел.

В науке используется также скорость в широком Смысл, как скорость изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другого (чаще изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят о угловую скорость, скорость изменения температуры, скорость химической реакции, групповую скорость, скорости соединения и т.д.. Математически скорость характеризуется производной функции.

1. Мгновенная скорость

Скорость тела легче определить, когда оно совершает равномерное прямолинейное движение, т.е. преодолевает одинаковые расстояния за равные промежутки времени. В таком случае скорость определяется как отношение расстояния до времени:

$v = \ frac {\ Delta x} {\ Delta t}$ ,

где $\ Delta x$ - Расстояние, пройденное телом за промежуток времени $\ Delta t$ .

Радиус-векторы (черные стрелки). Векторы средней и мгновенных скоростей (зеленые стрелки). Траектория (красная линия)

Механика обобщает это естественное определение для произвольного движения, используя математический аппарат анализа. В общем случае тела движутся неравномерно и могут изменять направление движения. Для описания такого движения вводится понятие мгновенной скорости, механика дальнейшем и называет просто скоростью. Траектория движения тела разбивается на маленькие участки, на которых движение можно считать равномерным и прямолинейным, и определяется скорость на этих участках. Таким образом, сначала вводится вспомогательное определение:

Средняя скорость произвольного движения за интервал времени $\ Delta t$ - Это векторная величина ^[1] ^[2]

$\ Mathbf {v} = \ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {\ Delta t}$ ,

где $\ Delta \ mathbf {r}$ - перемещение тела за время $\ Delta t$

После применения предельного перехода вводится определение мгновенной скорости.

Мгновенная скорость неравномерного движения - это вектор в точке, которая является пределом средних скоростей, когда интервал времени стремится к нулю. Раскрывая определение, скорость - это отношение перемещения материальной точки за интервал времени, когда этот интервал стремится к нулю, т.е. производная :

$\ Mathbf {v} = \ lim_ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {\ Delta t} = \ frac {d \ mathbf {r}} {dt} = \ dot { \ mathbf {r}}$ .

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения.

В свою очередь, производная от скорости дает мгновенное ускорение тела в момент времени t.

$\ Mathbf {a} = \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} = \ frac {d ^ 2 \ mathbf {r}} {dt ^ 2} = \ ddot {\ mathbf {r}}$

1.1. Среднее значение абсолютной величины скорости

В механике можно рассмотреть также понятие среднего значения абсолютной величины скорости тела за время t прошло путь s. Оно рассчитывается по простой формуле:

$v = \ frac {s} {t} \,$

и совпадает с бытовым представлением о скорости.

Определенное таким образом среднее значение абсолютной величины скорости - скалярная величина и не связана с перемещением тела. Например, автомобиль, который проехал с Коломыи до Львова, а затем вернулся обратно, совершил нулевое перемещения, однако он двигался с определенной средней скоростью, скажем 50 км / час.

2. Прямолинейный равноускоренное движение

Конечная скорость v _f объекта с начальной скоростью v _i и постоянным во времени ускорением a в период времени t определяется как:

$v_f = v_i + a t \,$

Средняя скорость объекта с постоянным ускорением составляет (v _i + v _f) / 2. Тогда для вычисления расстояния s перемещение тела за промежуток времени t получим формулу:

$s = t \ times \ frac {(v_i + v_f)} {2} \,$

Если известна только начальная скорость, можно применять формулу:

$s = v_i t + \ frac {(a t ^ 2)} {2} \,$

Из этих базовых уравнений выводится формула, не зависит от параметра времени t:

$v_f 2 = v_i ^ 2 + 2 a s \,$

Приведенные уравнения справедливы как для классической механики, так и для специальной теории относительности. Отличие ситуации заключается, в частности, в том, что в классической механике для всех наблюдателей в инерциальных системах отсчета ускорение тела, движущегося будет одинаковым. Для специальной теории относительности это не так.

3. Обобщенная скорость

В механике Лагранжа аналогичным образом вводится обобщенная скорость

$\ Dot {q} = \ frac {dq} {dt}$

где - обобщенная координата, т.е. одна из величин, определяющих мгновенное положение механической системы.

Например, при вращении твердого тела, обобщенная координата: угол поворота $\ Varphi$ . Обобщенная скорость - это угловая скорость :

$\ Omega = \ frac {d \ varphi} {dt}$

3.1. Скорость при вращении по кругу

При вращении материальной точки по кругу с радиусом R ее скорость определяется формулой

$v = \ omega R$ .

В общем, если рассматривать движение материальной точки в плоскости в полярной системе координат, то скорость можно разложить на две составляющие: радиальную и тангенциальную. Радиальная составляющая скорости направлена вдоль радиус-вектора точки и описывает удаления или приближения точки до начала системы координат. Тангенциальная составляющая направлена перпендикулярно радиус-вектора, и описывает вращение точки вокруг начала отсчета системы координат.

4. Теория относительности

Основной постулат теории относительности устанавливает максимальную скорость, с которой может передаваться информация, а, следовательно, и двигаться тело. Это максимальная скорость - скорость света - есть универсальной физической постоянной.

Для описания движения тел в теории относительности вводится 4-вектор скорости, или 4-скорость

$u ^ i = \ frac {dx ^ i} {ds}$ ,

где ds - пространственно-временной интервал.

$u ^ i = (\ frac {1} {\ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2}} \ frac {\ mathbf {v}} {c \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} })$ ,

где $\ Mathbf {v}$ - Обычная трехмерная скорость, а c - скорость света в вакууме.

4-скорость - безразмерная величина. Для 4-вектора скорости всегда справедливо уравнение

$u ^ i u_i = 1 \;$

5. Относительная скорость

Значение скорости тела зависит от системы отсчета наблюдателя. В классической механике, которая использует принцип Галилея, скорость тела в новой системе отсчета является векторной разностью его скорости в старой системе и скорости новой системы отсчета относительно старой.

$\ Mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} - \ mathbf {V}$ ,

где $\ Mathbf {v} ^ \ prime$ - Скорость тела в новой системе отсчета, $\ Mathbf {v}$ - Скорость тела в старой системе отсчета, $\ Mathbf {V}$ - Скорость новой системы отсчета виносно старой.

В системе отсчета, движущейся с той же скоростью, что и тело, оно незыблемо.

В теории относительности приведена формула не является справедливой, поскольку ни одно тело не может двигаться со скоростью, которая превышала бы скорость света. Например, в случае, когда направление скорости новой системы отсчета совпадает с направлением движения тела, скорость в новой системе равно

$v ^ \ prime = \ frac {v-V} {1 - vV / c ^ 2}$ .

При малых скоростях $v \ ll c$ или $V \ ll c$ эта формула совпадает с формулой преобразований Галилея.

6. Связь с другими физическими величинами

Тело, которое движется с определенной скоростью, имеет импульс и энергию. Импульс материальной точки массой $m \,$ , Движущегося со скоростью $\ Mathbf {v}$ , Равна

$\ Mathbf {p} = m \ mathbf {v}$ .

Кинетическая энергия такой материальной точки в классической механике равна

$K = \ frac {m \ mathbf {v} ^ 2} {2}$ .

Благодаря кинетической энергии физическое тело, которое имеет отличную от нуля скорость, может осуществлять работу.

Уравнения движения механики задают связь между ускорением тел и силами, которые действуют на эти тела. Таким образом, они дифференциальными уравнениями относительно скоростей. Для описания временной эволюции механической системы нужно задать не только положение тел, но и их скорости в начальный момент времени. Так, например, высота, на которую взлетит подброшенный вверх мяч и время его полета зависит от того, какую начальную скорость ему предоставили.

7. Скорость процесса

В украинском языке термин скорость употребляется также не в механическом смысле для определения временных характеристик произвольных процессов : например, скорость химической реакции, скорость нагрева, скорость замерзания, скорость испарения. Если определенный процесс характеризуется зависимой от времени величиной f (t) , То мгновенная скорость этого процесса определяется производной $\ Frac {df (t)} {dt}$ . Соответственно, средняя скорость за промежуток времени $\ Delta t$ определяется как $\ Frac {f (t_0 + \ Delta t) - f (t_0)} {\ Delta t}$ .

8. Сноски

Б.М.Яворский А.А.Пинский. Основы физики - том 1. М. Наука, 1981. с.22
Н.Г.Четаев. Теоретическая механика. М. Наука 1987. с.27

См.. также

Источники

Федорченко А.М. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1975., 516 с.