Собственная функция

Собственной функцией линейного оператора L с собственным значением \ Lambda называется такая ненулевая функция f , Для которой выполняется соотношение

L (f) = \ lambda f,

где \ Lambda это определенное число ( действительное или комплексное). Таким образом, действие оператора L на его собственную функцию f сводится к умножению f на число \ Lambda. Понятие собственной функции - это образец общего понятия собственного вектора линейного оператора, когда роль векторов играют функции. В частности, оно широко вистосовуеться в теории Недавно и интегральных операторов. Если L - Это оператор Шредингера с квантовой механики, то его собственные функции имеют смысл векторов стационарного состояния, а собственные значения соответствуют энергии (см. Стационарное уравнение Шредингера). Подавляющее большинство специальных функций и все ортогональные полиномы, которые рассматриваются в математике и физике, являются собственными функциями определенных дифференциальных операторов.

Если для оператора существует более одной линейно независимую собственную функцию с одинаковым собственным значением \ Lambda , То такое собственное значение называется вырожденным. Множество всех собственных значений оператора L относится к спектра L , Но вообще спектр оператора содержит также \ Lambda, не являющихся собственными числами.


Примеры

1. Рассмотрим изменение направления x \ mapsto-x на числовой оси \ Mathbb {R} . Это - отражение \ Mathbb {R} к себе, что приводит к линейного оператора S, действующего на функциях на \ Mathbb {R} по формуле

Sf (x) = f (-x).

Собственными функциями S есть все парные функции, отвечающие собственному значению 1, и все нечетные функции, соответствующие собственному значению -1, за исключением функции 0. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, не относятся к собственным функций данного оператора. Спектр данного оператора совпадает с множеством собственных значениях и состоит из двух числел: 1 и -1. Оба собственные значения вырожденные, поскольку существует множество парных или нечетных функций.

2. Для оператора производной \ Frac {d} {dx} в пространстве всех дифференцируемых дийснозначних функций одной переменной x , экспоненциальная функция e ^ {kx}, k \ in \ mathbb {R} является собственной функцией с собственным значением k. В теории Недавно уравнения доказывается, что любая Свойство f (x), удовлетворяющее уравнению

\ Frac {df} {dx} = kf,

имеет вид f (x) = Ce ^ {kx} т.е. пропорциональна e ^ {kx}. Ни одно из собственных значений является вырожденным. Если распространить пространство, на котором действует \ Frac {d} {dx} к пространству всех дифференцируемых комплекснозначных функций, то любая собственная функция \ Frac {d} {dx} пропорциональна комплексной экспоненциальной функции e ^ {kx}, k \ in \ mathbb {C}.

3. Полиномы Лежандра

P_l (z) = \ frac {(-1) ^ l} ​​{2 ^ ll!} \ Frac {d ^ l} ​​{dz ^ l} ​​(1-z ^ 2) ^ l

являются собственными функциями дифференциального оператора

L = (1-z ^ 2) \ frac {d ^ 2} {dz ^ 2}-2z \ frac {d} {dz}

с собственными значениями \ Lambda =-l (l +1). Эти функции - конечные в точках z = \ pm 1, и любая собственная функция L конечна в z = \ pm 1 пропорционально определенного P_l (z), l = 0,1,2, \ ldots.


См.. также