Собственный вектор

На изображении мы видим Транформация смещения, что происходит с Джокондой. Синий вектор меняет направление, а красный - нет. Поэтому красный является собственным вектором такого преобразования, а синий - нет. Так как красный вектор ни растянулся, ни сжался, его собственное значение равно единице. Все векторы коллинеарны красном тоже собственные.

Собственный вектор ( англ. eigenvector ) квадратной матрицы A \!собственным значением ( англ. eigenvalue ) \ Lambda \! ) - Это ненулевой вектор v \! , Для которого выполняется соотношение

Av = \ lambda v, \ qquad (*)

где \ Lambda это определенный скаляр, то есть действительное или комплексное число.

То есть, собственные векторы матрицы A - Это ненулевые векторы, которые под действием линейного преобразования задаваемый матрицей A не меняют направления, но могут изменять длину на коэффициент \ Lambda .

Матрица размерами n \ times n имеет не более \ N собственных векторов, и собственных значений, соответствующих им.

Соотношение (*) имеет смысл также для линейного оператора в векторном пространстве V. Если это пространство - конечномерных, то оператор можно записать в виде матрицы по отношению к определенному базиса V.

Поскольку собственные векторы и собственные значения было отмечено без применения координат, они не зависят от выбора базиса. Поэтому подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения.


1. Примеры

  • A = I_n это единичная матрица. Поскольку для произвольного вектора v выполняется Av = v, произвольный ненулевой вектор является собственным вектором I_n с собственным значением 1.

2. Собственные значения и спектр матриц

Ведущую роль в понимании собственных значений матриц играет характеристический полином матрицы. Собственные значения n \ times n матрицы A и только они являются корнями характеристического полинома матрицы A :

p (\ lambda) \ equiv \ det {(\ lambda I - A)} = 0. \!

p (λ) является полиномом степени n , Так что при основной теоремой алгебры, существует ровно n комплексных собственных значений, учитывая их кратности.

Итак, n \ times n матрица A имеет не более n собственных значений (но множество собственных векторов для каждого из них).

Запишем характеристический полином через его корни:

p (\ lambda) = (\ lambda-\ lambda_1) ^ {n_1} (\ lambda-\ lambda_2) ^ {n_2} \ ldots (\ lambda-\ lambda_k) ^ {n_k} = 0, \ qquad \ sum_ {i = 1} ^ {k} {n_i} = n.

Кратность корня \ Lambda_i \! характеристического полинома матрицы A \! называется алгебраической кратностью собственного значения \ Lambda_i \!.

Совокупность всех собственных значений матрицы или линейного оператора в конечномерных векторном пространстве называется спектром матрицы или линейного оператора. (Эта терминология видоизменяется для нескинченозмирних векторных пространств: в общем случае, к спектру оператора могут принадлежать \ Lambda, которые не являются собственными значениями.)

Благодаря связи характеристического полинома матрицы с ее собственными значениями, последние еще ​​называют характеристическими числами матрицы.


3. Собственный пространство и кратность

Для каждого собственного значения \ Lambda_i \! , Получим свою систему уравнений:

(A - \ lambda_i I) v = 0, \!

что будет 1 \ le m_i \ le n_i \!линейно независимых решений.

Совокупность всех решений системы образует линейный подпространство размерности m_i \; и называется собственным пространством ( англ. eigenspace ) Матрицы A \! с собственным значением \ Lambda_i \! .

Размерность собственного пространства называется геометрической кратностью соответствующего собственного значения \ Lambda .

Все собственные пространства является инвариантными подпространствами для \ A .

Если существуют по крайней мере два линейно-независимые собственные векторы с одинаковым собственным значением \ Lambda, то такое собственное значение называется вырожденным. Эта терминология используется преимущественно в том случае, если геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений совпадают, например, для эрмитовых матриц.


4. Свойства

  • Для любой матрицы из комплексных чисел существует хотя бы один собственный вектор.
  • Если v_1, \ ldots, v_k - Собственные векторы матрицы A с попарно отличными собственными значениями, то эти векторы являются линейно независимы.
  • Если матрица A размера n ? n, подобная к некоторой диагональной матрицы, то она имеет n линейно независимых векторов.
  • Если матрицы A, B есть переставными, то у них существует общий собственный вектор:
AB = BA \ quad \ Rightarrow \ quad \ exists \; v, \ lambda_1, \ lambda_2: \; \; Av = \ lambda_1 v, \; Bv = \ lambda_2 v.

5. Расписание матрицы с помощью собственных векторов

  • Если A \! квадратная матрица размера n ? n, а q_i (i = \ overline {1, n}) - Линейно независимые собственные векторы матрицы A \! , Тогда справедлива формула:
A = Q \ Lambda Q ^ {-1} \!

где Q \! - Квадратная матрица размера n ? n, \ I -Й столбец которой является вектор q_i \! , А \ Lambda \! - Это диагональная матрица с соответствующими значениями \ Lambda_i \! .

A ^ {-1} = Q \ Lambda ^ {-1} Q ^ {-1} \!

6. Проблемы собственных значений

Проблемой собственных значений называется задача нахождения собственных векторов и чисел матрицы.

По определению (с помощью характеристического уравнения) можно находить только собственные значения матриц размерности меньше пяти. Характеристическое уравнение имеет степень равную степени матрицы. Для больших степеней нахождения решений уравнения становится очень проблематичным, поэтому используют различные численные методы

Различные задачи требуют получение различного количества собственных значений. Поэтому различают несколько проблем поиска собственных значений, для каждой из которых используют свои методы.

  • Полная - найти все собственные значения
  • Частичная - найти несколько собственных значений
    1. Максимальное или минимальное по модулю собственные значения.
    2. Два максимальные собственные значения
    3. Ближе к данному собственное значение.

Казалось бы частичная проблема собственных значений является частичной проблемой полной, и решается теми же методами что и полная. Однако, методы применяемые в частных задач намного эффективнее, поэтому могут применяться к матрицам большой размерности (например, в ядерной физике возникают проблемы нахождения собственных значений для матриц размерности 10 ^ 3 - 10 ^ 6 ).


6.1. Метод Якоби

Одним из старейших и общих подходов к решению полной проблемы собственных значений является метод Якоби, который впервые был опубликован в 1846.

Метод применяют в симметричных матриц.

Это простой итеративный алгоритм, в котором матрица с собственными векторами вычисляется последовательностью умножений.

См.. также

Источники

  • Гантмахер Ф.Р. (1967). "III". Теория матриц (изд. второе). Москва: Наука. с. 576 с.
  • Н.С. Бахвалов, Н.П.Жидков, М. Кобелька. Численные методы. (Проблемы собственных значений)